专题3.7 椭圆的综合问题（新高考）（原卷版）

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专题 3.7 椭圆的综合问题

1．与直线与椭圆有关的解答题的求解策略：

（1）求解此类问题，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，

然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；

（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊

情形．有时若直线过 x轴上的一点，可将直线设成横截式．

2．求定点、定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点或定值．

【预测题 1】已知椭圆：长轴的顶点与双曲线：

实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．

（1）求与的方程；

（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的 2倍，且经过点，与交于

，两点，与交于，两点，求．

【预测题 2】在圆上任取一点 T，过点 T作x轴的垂线段 TD，D为垂足，点 P

为线段 TD 的中点．

（1）求动点 P的轨迹 C的方程；

（2）斜率为且不过原点 O的直线 l交曲线 C于A，B两点，线段 AB 的中点为，

射线 OE 交曲线 C于点 M，交直线于点 N，且，求点到

直线 l的距离 d的最大值．

【预测题 3】已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直

线与椭圆交于，两点，圆是的内切圆．当直线的倾斜角为时，

直线与椭圆交于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求圆周长的最大值．

【预测题 4】2022 年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速

度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑

动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22 条“冰丝带”又象征北京 2022

年冬奥会．其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种

造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间

几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研

究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方

盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算

公式直到 200 年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则

积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是两个等高的几何体

若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．

（1）利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体，

几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内．设与平面平

行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影

截面面积相等的图形并给出证明；

（2）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得

两个不同的椭球，（如图），类比（1）中的方法，探究椭球的体积公式，并写出

椭球，的体积之比．

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