专题3.7 导数的综合应用（选填题）（原卷版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 3.7 导数的综合应用（选填题）

一、题型全归纳....................................................................................................................................................... 1

题型一　利用导数求解函数的零点或方程的根的问题............................................................................... 1

题组高效训练突破........................................................................................................................................... 3

题型二　利用导数研究不等式的有关问题.................................................................................................. 7

题组高效训练突破........................................................................................................................................... 9

题型三构造法求 f(x)与f′(x)共存问题........................................................................................................... 15

类型一 f′(x)g(x)±f(x)g′(x)型.................................................................................................................... 15

类型二

xf′(x)±nf(x)(n为常数)型............................................................................................................. 16

类型三

f′(x)±λf(x)(λ为常数)型............................................................................................................... 18

一、题型全归纳

题型一　利用导数求解函数的零点或方程的根的问题

【题型要点】利用导数研究函数零点或方程根的方法

(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法

借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个

数或者通过零点个数求参数范围．

(2)数形结合法求解零点

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形

结合确定其中参数的范围．

(3)构造函数法研究函数零点

① 根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定

区间的极值以及区间端点的函数值与 0的关系，从而求解．

② 解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与

化归的思想方法.　　　　

【例 1】(2020·汉中模拟)若函数

(

)

与

(

)

满足：存在实数 t，使得

(

)

＝

(

)

，则称函数

(

)

为

(

)

的“友导”函数．已知函数

(

)

2kx2−x+3

为函数

(

)

=x2ln x+x

的“友导”函数，则

的

取值范围是(　　)

A．(－∞，1) B．(－∞，2]

C．(1，＋∞) D．[2，＋∞)

【例 2】(2020·江西七校第一次联考)已知函数 y＝f(x)是R上的可导函数，当 x≠0 时，有 f′(x)＋>0，则函数

F(x)＝x·f(x)－的零点个数是(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2 D．3

题组高效训练突破

1．方程 x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是(　　)

A．3 B．2

C．1 D．0

2.(2020·贵阳摸底)函数 f(x)＝ex＋a－x3＋2x2在(0，＋∞)上只有一个零点，则 a的值为(　　)

A．4 B．4ln 2－3

C．2 D．5ln 2－4

3.(2020·江西赣州模拟)若函数 f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数 a的取值范围是(　　)

(

−∞,1

)

　　　 B．

(

0,1

)

C. D．

4.已知 f(x)＝1－，过点(k,0)与f(x)相切的直线有且仅有 3条，则 k的取值范围是(　　)

A．(－∞，2－e2) B．(－∞，2－e2]

C．(－∞，4－e2) D．(－∞，4－e2]

5.已知函数 f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：

x－10 2 3 4

f(x) 1 2 0 2 0

f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示．当 1<a<2 时，函数 y＝f(x)－a的零点有个．

6．若函数 f(x)＝＋1(a<0)没有零点，则实数 a的取值范围为．

7.对于定义在 R上的函数 f(x)，若存在非零实数 x0，使函数 f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上均有零点，则称

x0为函数 f(x)的一个“折点”．现给出下列四个函数：

①f(x)＝3|x－1|＋2；② f(x)＝lg |x＋2019|；③ f(x)＝－x－1；④ f(x)＝x2＋2mx－1(m∈R)．

则存在“折点”的函数是________．(填序号)

题型二　利用导数研究不等式的有关问题

【题型要点】1．利用导数证明不等式成立问题的常用方法

(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题

若证明 f(x)<g(x)，x(∈a，b)，可以构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)，如果 F′(x)<0，则 F(x)在(a，b)上是减函数，

同时若 F(a)≤0，由减函数的定义可知，x(∈a，b)时，有 F(x)<0，即证明了 f(x)<g(x)．

(2)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明

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