专题3.7 导数的综合应用（选填题）（解析版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破
专题 3.7 导数的综合应用（选填题）
目录
一、题型全归纳....................................................................................................................................................... 1
题型一 　利用导数求解函数的零点或方程的根的问题............................................................................... 1
题组高效训练突破........................................................................................................................................... 3
题型二 　利用导数研究不等式的有关问题.................................................................................................. 7
题组高效训练突破........................................................................................................................................... 9
题型三 构造法求 f(x)与f′(x)共存问题........................................................................................................... 15
类型一 f′(x)g(x)±f(x)g′(x)型.................................................................................................................... 15
类型二
xf′(x)±nf(x)(n为常数)型............................................................................................................. 16
类型三
f′(x)±λf(x)(λ为常数)型............................................................................................................... 18
一、题型全归纳
题型一 　利用导数求解函数的零点或方程的根的问题
【题型要点】利用导数研究函数零点或方程根的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个
数或者通过零点个数求参数范围．
(2)数形结合法求解零点
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形
1
结合确定其中参数的范围．
(3)构造函数法研究函数零点
① 根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定
区间的极值以及区间端点的函数值与 0的关系，从而求解．
② 解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与
化归的思想方法.　 　　　
【例 1】(2020·汉中模拟)若函数
f
(
x
)
与
g
(
x
)
满足：存在实数 t，使得
f
(
t
)
＝
g'
(
t
)
，则称函数
g
(
x
)
为
f
(
x
)
的“友导”函数．已知函数
g
(
x
)
=1
2kx2−x+3
为函数
的“友导”函数，则
k
的
取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，2]
C．(1，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】D
【解析】
g'
(
x
)
=kx−1
，由题意
g
(
x
)
为函数
f
(
x
)
的“友导”函数，即方程
x2ln x+x=kx−1
有解，故
k=xln x+1
x+1
，记
p
(
x
)
=xln x+1
x+1
，则 p′(x)＝1＋ln x－＝＋ln x，当 x>1 时，>0，ln x>0，故 p′
(x)>0，故 p(x)递增；当 0<x<1 时，<0，ln x<0，故 p′(x)<0，故 p(x)递减，故 p(x)≥p(1)＝2，故由方程 k＝xln
x＋＋1有解，得 k≥2，故选 D.
【例 2】(2020·江西七校第一次联考)已知函数 y＝f(x)是R上的可导函数，当 x≠0 时，有 f′(x)＋>0，则函数
F(x)＝x·f(x)－的零点个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
【答案】B.
【解析】：函数 F(x)＝xf(x)－的零点，就是方程 xf(x)－＝0的根，即方程 xf(x)＝的根．令函数 g(x)＝xf(x)，
则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)．因为当 x>0 时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，所以 g(x)＝xf(x)单调递增，g(x)>g(0)＝0；当 x<0
时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，所以 g(x)＝xf(x)单调递减，g(x)>g(0)＝0.所以函数 y＝g(x)与y＝的图象只有一个
交点，即 F(x)＝xf(x)－只有一个零点．故选 B.
2
题组高效训练突破
1．方程 x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】C
【解析】设 f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为 f(1)＝－
6<0，极小值为 f(3)＝－10<0，所以方程 x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为 1.
2.(2020·贵阳摸底)函数 f(x)＝ex＋a－x3＋2x2在(0，＋∞)上只有一个零点，则 a的值为(　　)
A．4 B．4ln 2－3
C．2 D．5ln 2－4
【答案】D
【解析】函数 f(x)＝ex＋a－x3＋2x2在(0，＋∞)上只有一个零点，可得 ea＝在(0，＋∞)上只有一个解．令 g(x)
＝，可得 g′(x)＝＝－x·，g(x)在(0，＋∞)上有 2个极值点，x＝1和x＝4；当 x(0,1)∈时函数 g(x)是减函数，
当x(1,4)∈时，函数 g(x)是增函数，当 x(4∈，＋∞)时函数 g(x)是减函数，g(0)＝0.所以函数 g(x)的最大值为
g(4)＝＝，函数 f(x)＝ex＋a－x3＋2x2在(0，＋∞)上只有一个零点，可得 ea＝，所以 a＝5ln 2－4.故选 D.
3.(2020·江西赣州模拟)若函数 f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数 a的取值范围是(　　)
A.
(
−∞,1
e
)
　　　 B．
(
0,1
e
)
C. D．
【答案】D.
【解析】：函数 f(x)＝aex－x－2a的导函数 f′(x)＝aex－1.当a≤0 时，f′(x)≤0 恒成立，函数 f(x)在R上单调递
减，不可能有两个零点；当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝ln ，函数 f(x)在
(
−∞,ln 1
a
)
上单调递减，在
(
ln 1
a,+∞
)
上单调递增，所以 f(x)的最小值为
f
(
ln 1
a
)
＝1－ln－2a＝1＋ln a－2a.令g(a)＝1＋ln a－
3
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