专题3.6 空间向量与立体几何（新高考）（解析版）

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专题 3.6 空间向量与立体几何
1．利用向量求异面直线所成的角的方法：
设异面直线 AC，BD 的夹角为 β，则 cos β＝ ．
2．利用向量求线面角的方法：
（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的
夹角(或其补角)；
（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取
其余角就是斜线和平面所成的角．
3．求二面角的方法通常有两个思路：
（1）利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断
锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较
大；（2）传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求
出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角．
（3）要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
4．利用空间向量计算二面角的常用方法：
（1）法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向
量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
（2）方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向
量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
【预测题 1】如图，在多面体 中，四边形 是等腰梯形， ，
，四边形 是直角梯形，且 ， ， ， ，平
面 平面 ．
1
（1）证明：平面 平面 ．
（2）线段 上是否存在一点 ，使平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ？
若存在，请说明 点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 为 的中点．
【解析】（1）证明：在等腰梯形 中， ， ，可得 ．
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，所以 ．
因为平面 平面 且交于 ， ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）解：如图，过 作 的垂线交 于 ，过 在平面 内作 的垂线 ，
建立空间直角坐标系 ，
2
则 ， ， ， ， ， ，
，设 ，则 ．
， ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ．
所以 ，
解得 ，即当 为 的中点时满足题意．
【预测题 2】如图，在水平桌面上放置一块边长为 的正方形薄木板 ．先以木板的
3
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