专题3.6 对数与对数函数（精讲）（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习学与练

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专题 3.6 对数与对数函数
【考纲要求】
1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.
2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
3.了解对数函数的变化特征.
4．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.
【知识清单】
1．对数及其运算
1.对数的概念
（1）如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x ＝ log aN，其中 a叫做对数的底数，N
叫做真数.
（2）对数的性质：①负数和零没对数；② ；③ ；
（3）对数恒等式 alogaN＝N
2.对数的运算法则
如果 a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM ＋ log aN；
②loga＝logaM － log aN；
③logaMn＝n log aM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且 m≠0).
(3)对数的重要公式
① 换底公式：logbN ＝ (a，b均大于零且不等于 1)；
②logab＝，推广 logab·logbc·logcd＝logad.
③logaab＝b(a>0，且 a≠1)
2．对数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
1 0
a
log 1
a
log a
1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)和指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x对
称．
【考点梳理】
考点一 ：对数的化简、求值
【典例 1】（2020·全国高考真题（文））设 ，则 （ ）
A．B．C．D．
【典例 2】（2020·全国高考真题（理））已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b
【规律方法】
1.对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层
视为整体，逐层使用对数的性质．
2.对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对
数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、
商、幂的运算．
2
【变式探究】
1. （2018 届 安 徽 省 宿 州 市 第 三 次 检 测 ） 已 知
m>0
，
n>0
，
log4m=log8n=log16 (2m+n)
， 则
log2
√
m− log4n=¿
（ ）
A. -2 B. 2 C.
−1
2
D.
1
2
2. 则 ， .
【易错提醒】
(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现 log212
＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．
(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
考点二 ：对数函数的概念与图象
【典例 3】（2019·浙江高三高考真题）在同一直角坐标系中，函数 且
的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例 4】（2020·北京高三二模）已知函数 f（x）=logax+b的图象如图所示，那么函数 g（x）=ax+b的图
象可能为( )
( ) 5
2016· 1. 2
b a
a b
a b log b log a a b浙江卷 已知 ＞ ＞ 若 ＋ ＝ ， ＝ ，
a＝b＝
1 1
, log ( 0
2
a
x
y y x a
a
 
 
 
 
0)a
3
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