专题3.6 对数与对数函数（精讲）（解析版）-2022年新高考数学一轮复习学与练

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专题 3.6 对数与对数函数
【考纲要求】
1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.
2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
3.了解对数函数的变化特征.
4．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.
【知识清单】
1．对数及其运算
1.对数的概念
（1）如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x ＝ log aN，其中 a叫做对数的底数，N
叫做真数.
（2）对数的性质：①负数和零没对数；② ；③ ；
（3）对数恒等式 alogaN＝N
2.对数的运算法则
如果 a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM ＋ log aN；
②loga＝logaM － log aN；
③logaMn＝n log aM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且 m≠0).
(3)对数的重要公式
① 换底公式：logbN ＝ (a，b均大于零且不等于 1)；
②logab＝，推广 logab·logbc·logcd＝logad.
③logaab＝b(a>0，且 a≠1)
2．对数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
1 0
a
log 1
a
log a
1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)和指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x对
称．
【考点梳理】
考点一 ：对数的化简、求值
【典例 1】（2020·全国高考真题（文））设 ，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故选：B.
【典例 2】（2020·全国高考真题（理））已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b
【答案】A
【解析】
2
由题意可知 、 、 ，
， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .
故选：A.
【规律方法】
1.对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层
视为整体，逐层使用对数的性质．
2.对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对
数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、
商、幂的运算．
【变式探究】
1. （2018 届 安 徽 省 宿 州 市 第 三 次 检 测 ） 已 知
m>0
，
n>0
，
log4m=log8n=log16 (2m+n)
， 则
log2
√
m− log4n=¿
（ ）
A. -2 B. 2 C.
−1
2
D.
1
2
【答案】C
【解析】
a
b
 
0,1c
 
2 2
2
5
2
8
log 3 lg 3 lg8 1 lg 3 lg8 lg 3 lg 8 lg 24 1
log 5 lg 5 lg 5 2 2 lg 5 lg 25
lg 5
a
b
 
 
 
  
 
 
 
a b 
8
log 5b
8 5
b
5 4
5 8
5 4
8 8
b
5 4b 
4
5
b
13
log 8c
13 8
c
4 5
13 8
4 5
13 13
c
5 4c 
4
5
c
abc 
3
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