专题3.5 指数与指数函数（精讲）（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习学与练

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专题 3.5 指数与指数函数
【考纲要求】
1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。
2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
3.了解指数函数的变化特征.
4．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.
【知识清单】
1．根式和分数指数幂
1．n次方根
定义 一般地，如果 xn＝a，那么 x叫做 a的__n
次方根 __，其中 n＞1，且 n∈N*
个数
n是奇数
a＞0x＞0
x仅有一个值，记为
a＜0x＜0
n是偶数 a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0x不存在
2.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中 n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：
①()n＝a.
②＝
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；正数的负分数指数幂的意义是 a－＝
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；0的正分数指数幂等于 0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝a r
＋
s
；(ar)s＝a rs
；(ab)r＝a r
b r
，其中 a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象和性质
(1)概念：函数 y＝ax(a>0 且a≠1)叫做指数函数，其中指数 x是变量，函数的定义域是 R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
1
图象
定义域 R
值域 (0
，＋∞ )
性质
过定点(0
， 1)
，即 x＝0时，y＝1
当x>0 时，y >1 ；
当x<0 时，0< y <1
当x<0 时，y >1 ；
当x>0 时，0< y <1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【考点梳理】
考点一 根式、指数幂的化简与求值
【典例 1】（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（　　）
A．B．C．D．
【典例 2】计算：
(
21
4
)
1
2−(−9.6)0−
(
8
27
)
2
3+
(
3
2
)
−2
．
【规律方法】
化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
【变式探究】
1.计算：1.5－×0＋80.25×＋( × )6－
2.计算： ×0＋×－ ＝________.
【易错提醒】
1.根式：
（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
（2）＝0(n＞1，且 n∈N*)．
（3）有限制条件的根式化简的步骤
3 4 7
a a a 
 
3
2 6
a a 
8 8
a a
 
5
5
 
 
1
3
7
6
 
 
 
4
2
3
2
3
2
3
2
3
 
 
 
1
3
3
2
 
 
 
7
6
 
 
 
1
4
8
4
2
2
3
2
3
 
 
 
2
2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
3.把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则，有时会改变 a的取值范围而导致出错，
如，a∈R，化成分数指数幂应为 a，a∈R，而 a＝，则有 a≥0，所以化简时，必须先确定 a的取值范围．
4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果
用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
考点二：根式、指数幂的条件求值
【典例 3】已知
x+x−1=3，
则
x
3
2+x−3
2
的值为__________．
【典例 4】已知 ，求下列各式的值.
（1） ；（2） ；（3）
【总结提升】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、
立方和（差）公式的应用，如
(x
1
2+x−1
2)2=x+2+x−1
，
(x+x−1)2=x2+2+x−2
，
，解题时要善于应用公式变形．
【变式探究】
设 ，求 的值．
考点三：指数函数的概念
【典例 5】若 y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有 (　　)
A．a＝1或2 B．a＝1
1 1
2 2
3a a
 
1 1
a a
2 2
a a
2 2
1
1
1
a a
a a
 
 
1 1
2 2
3x x
 
1
x x
3
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