专题3.5 高考数学常见解题误区一（解析版）

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专题 3.5 高考数学常见解题误区一
解题策略：
解题错误是数学过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同
时也考生学习水平、身体与心理状况有关。数学解题错误既有个性又有共性，据统计数学错误有
一定的规律性。
一、审题失误。看错题目是低级错误的又一种常见情况。对新题型或较长的题目，一定要在
透彻理解题意的基础上做题，必要时可多读几遍题目。此外，当解题有时解不下去，或运算很繁
时，要怀疑是否出现运算错误或没有充分利用条件，及时纠正，实在做不出，要敢于放弃，不能
恋战。
二、方法或策略不当。有些问题有简捷的解法，而不当的方法则既费时又易错。有些同学往
往拿到题目后，不认真思考，随便想到一种方法就解，结果或者是繁的做不下去，或是解题过程
中出现运算错误，即使勉强解出结果，但用了大量时间。因此拿到题目不要急于落笔，先找出比
较简单的方法再解题，既能准确算对，又能节省时间，否则会陷于欲进不能、欲罢不忍的尴尬状
态。
三、书写不当。有些同学书写不规范，如有同学把 5 与 8，4 与 9 写得很难辨认。此类错误
若是出现在解答题中，阅卷老师看得出是笔误，可以高抬贵手，也可酌情扣分，若出现在填空题
中，就爱莫能助了。有些同学书写没条理，想到哪儿，就写到哪儿，感觉不对就涂改，有些卷面
涂改太多，正确答案有时阅卷老师找不到在哪儿，易被错判。
四、公式和概念不熟。部分同学对一些公式始终不熟，如三角中的正切倍角公式与正弦万能
公式不分等等。错用公式不仅导致结果错误，还会耽误宝贵时间。考前一定要记住平时不熟的公
式，有效地检验方法就是再看看以往做错的一些习题。做对会做的题，你就成功了。
五、运算失误。运算错误是数学考试中最常见的错误，同学多认为是粗心。其实是多方面原
因造成的。一是运算过程中口算多，结果在脑子里一闪念就写到纸上，这样的错误复查时较难查
出。建议常犯此类错误的同学在运算时，把过程写出来，可能会减少些错误。二是开始时心理紧
张，由于前面填空题简单，急于做完留出时间做后面的解答题。结果忙中出错。有些同学由于紧
张会出现暂时遗忘，熟悉的知识一时想不起来，或把简单的计算如移项、合并同类项、去括号等
算错。最好能以平常心态进考场，保持适度紧张有利于集中思维，使运算高效有序。
1
这样的情况在高三的学生里是普遍存在，之所以出现这种情况，表面上是粗心大意，或者是
过于紧张造成的，但实际上这只是原因的一部分。最根本的原因还是由于基础不牢固，对平时所
学知识没有真正的掌握透，还有积累的解题方法不够多，造成在解题目的时候无谓地增加了很多
中间步骤，使得错误出现的机率增加。
最好的解决方法就是用本子记录经典试题和经典思路，还有积累一些思维和计算的技巧，当
然还要勤加练习为是。
解题技巧：消除策略性错误的应对策略是：后期复习注意归类总结，对基础题中档题形成模
式化解法
1、解决对数学基本概念模糊、特征不明的解题误区；
2、解决数学题阅读中的理解性错误；
3、建立数学题中的直观思维和逻辑性，解决解题中的思维和策略性错误。
一、审题失误
【例 1】
√
x
(
x+1
)
+arccos
(
x2+x+1
)
=
【难度】★
【答案】0
【解析】题中的设置条件考查的是对定义域的理解，或多学生看到此题时容易忽略反余弦函数自
身的定义域的范围是
[
−1，1
]
，结合前面的根号下的非负性，不难知道
x2+x=0
可求出题目答案。
【例 2】“ 成立”是“ ”成立的___________条件.
【难度】★★
【答案】必要不充分
【解析】在理解正切函数存在的条件时要注意正切自身存在的意义。
【例 3】若向量
⃗
a
=
(x , 2x)
，
⃗
b
=
(−3x , 2)
，且
，
⃗
b
的夹角为钝角，则
x
的取值范围是_________
_____.
【难度】★★
【答案】
(−∞,−1
3)∪¿ ¿
(
−1
3,0
)
∪
(
4
3,+∞
)
【解析】只由
⃗a , b
的夹角为钝角得到
⃗a⋅
⃗
b<0,
而忽视了
⃗a⋅
⃗
b<0
不是
⃗a , ⃗
b
夹角为钝角的充要条
件,因为
⃗a , b
的夹角为
180∘
时也有
⃗a⋅
⃗
b<0,
从而扩大
x
的范围,导致错误.
∵
⃗
a
，
⃗
b
的夹角为钝角,
∴⃗a⋅⃗
b=x⋅
(
−3x
)
+2x⋅¿ ¿
2=−3x2+4x<0
解得
x<0
或
x>4
3
(1)
又由
⃗a , ⃗
b
共线且反向可得
x=− 1
3
(2)
2
由(1),(2)得
的范围是
(−∞,−1
3)∪¿ ¿
(
−1
3,0
)
∪
(
4
3,+∞
)
【巩固训练】
1．函数
y=lg
(
x2−5x+6
)
的单调递增区间是
【难度】★
【答案】
2．已知平面上三点
A
、
B
、
C
满足
|
⃗
AB|=3,|
⃗
BC|=4,|
⃗
CA|=5,则
⃗
AB⋅
⃗
BC+
⃗
BC⋅
⃗
CA+
⃗
CA⋅
⃗
AB
的值
等于 （ ）
A．25　　　　B．24　　　　C．－25　　　　D．－24
【难度】★★
【答案】C
【解析】学生看在看到多个向量作运算时，第一感觉会比较麻烦，其实本题的实质只是向量的线
性运算，先合并再利用模长代入运算即可。
3．如果函数
y=sin2x+acos2x
的图像关于直线
x= - 8
对称，则
a=
【难度】★★
【答案】-1
【解析】学生在审题时看到三角前面的
a
时，不知道从何动手，用特殊值的方式能快速求解。
（一）特殊值法：因为图像关于直线
x=− π
8
对称，故可以取两个对称的点，
不妨取
x 0
和
x - 4
，则由
(0) ( )
4
f f
 
，可得 a=-1
（二）辅助角
2
2 2
sin 2 cos 2 1sin(2 )
1
cos sin tan
1 1
y x a x a x
aa
a a
 
 
 
 
因为图像关于直线
x= - 8
对称，故
2 ( )
8 2
k
 
 
 
，得
3
4
k
 
 
3
tan tan( ) 1
4
a k
 
 
二、方法或策略不当
【例 4】若向量
⃗
a
=(cos,sin) ，
⃗
b
=
(
cos β,sin β
)
，
⃗
a
与
不共线，则
⃗
a
与
⃗
b
一定满足
（ ）
3
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