专题3.2 函数的单调性与最值（精讲）-2022年新高考数学一轮复习学与练（解析版）

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专题 3.2 函数的单调性与最值

【考纲要求】

1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性.

2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.

3.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.

【知识清单】

1. 增函数、减函数

（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有

，那么就说函数在区间上是增函数；

（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有

，那么就说函数在区间上是减函数.

2．函数的单调性

(1)定义：如果函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在区间 D上具有(严格的)单

调性，区间 D叫做函数 y＝f(x)的单调区间.

(2)图象特征：函数 y＝f(x)在区间 D上具有单调性，则函数 y＝f(x)在区间 D上的图象是上升的或下降的．

2．函数的最值

1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得 .

那么，我们称是函数的最大值.

2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

 

D D I

1 2

x x

   

1 2

f x f x

 

f x

 

D D I

1 2

x x

   

1 2

f x f x

 

f x

 

y f x

x I

 

f x M

x I

 

f x M

 

y f x

 

y f x

x I

 

f x m

（2）存在，使得 .

那么，我们称是函数的最小值.

【考点梳理】

考点一单调性的判定和证明

【典例 1】1.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是（）

A． B．

= C． D．

【答案】A

【解析】

函数，

在区间上单调递减，

函数在区间上单调递增，故选

【典例 2】用单调性定义证明函数 f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数．

【答案】见解析

【解析】设 x1<x2≤－1，则

f(x1)－f(x2)＝(2x＋4x1)－(2x＋4x2)

＝2(x－x)＋4(x1－x2)

＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)．

∵x1<x2≤－1，

∴x1－x2<0，x1＋x2＋2<0，

∴f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．

【规律方法】

掌握确定函数单调性(区间)的 4 种常用方法

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差

的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系

及不等式的性质进行判断．

(2)图象法：如果

(

)是以图象形式给出的，或者

(

)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调

性．

x I

 

f x m

 

y f x

（3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性.

（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．

【变式探究】

1.（2020·西藏自治区高三二模（文））下列函数中，在区间上为减函数的是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

对于 A 选项，函数在区间上为增函数；

对于 B 选项，函数在区间上为增函数；

对于 C 选项，函数在区间上为减函数；

对于 D 选项，函数在区间上为增函数.

故选：C.

2．（2019·贵州高三高考模拟（文））关于函数

(

)

x −1

−1

的下列结论，错误的是（）

A．图像关于

x=1

对称

B．最小值为

−1

C．图像关于点

(

1,− 1

)

对称

D．在

(

− ∞ , 0

]

上单调递减

【答案】C

【解析】

由题意可得：

f(x)=

x −1

−1=¿

，

绘制函数图像如图所示，

 





1y x 

21y x 

y 

 

  2

logy x

1y x 

 





21y x 

 





y 

 

 

 





logy x

 





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