专题3.1 直线的倾斜角与斜率-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修2）

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第三章直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

一、直线的倾斜角

1．直线的确定

在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者

缺一不可．

2．直线倾斜角的概念

当直线 l与x轴相交时，我们取 x轴作为基准，x轴正向与直线 l _______方向之间所成的角 α叫做直线

l的倾斜角．

倾斜角与倾斜程度

平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾

斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾

斜程度．

3．倾斜角的取值范围

当直线 l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0°．因此，直线的倾斜角 α的取值范围是_____

__．

如下图：的倾斜角为 0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角．

二、直线的斜率

1．斜率的定义

我们把一条直线的倾斜角 α的_______叫做这条直线的斜率，通常用小写字母 k表示，即．

注：倾斜角是 90°的直线没有斜率．

2．斜率与倾斜角之间的关系

当直线的倾斜角 α=0°时，斜率 k=0，直线与 x轴_______；

当0°<α<90°时，斜率 k>0，且 k值增大，倾斜角随着_______；

当α=90°时，斜率 k_______（此时直线是存在的，直线与 x轴垂直）；

当90°<α<180°时，斜率 k<0，且 k值增大，倾斜角也随着_______．

3．直线的倾斜程度

（1）倾斜角 α不是 90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用______

_表示直线的倾斜程度．

（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角

度．

三、过两点的直线的斜率公式

1．公式

经过两点的直线的斜率公式为_______．

2．公式的推导

如图（1），（2），设直线的倾斜角为 α（α≠90°），当直线的方向（即从指向的方

向）向上时，过点作 x轴的平行线，过点作 y轴的平行线，两条直线相交于点 Q，于是点 Q的坐

标为．

如图（1），当 α为锐角时，．

在中，．

如图（2），当 α为钝角时，α=180°−θ（设），．

．

在中，，

于是可得，即．

同样，当直线的方向向上时，如图（3），（4），也有，即．

综上所述，经过两点的直线的斜率公式为_______．

名师提醒

（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的

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