专题3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修4）

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第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角差的余弦公式
（1）公式内容：对于任意角 α，β，有 cos（α–β）=____________________．简记为 C（α–β）．
（2）公式推导：①利用三角函数线推导．②利用向量法推导．
2．两角和的余弦公式
（1）公式内容：对于任意角 α，β，有 cos（α+β）=____________________．简记为 C（α+β）．
（2）公式推导：
在公式 C（α–β）中，将 β用–β来替换，并且注意到 cos（–β）=cos β，sin（–β）=–sin β，
于是 cos（α+β）=cos[α–（–β）]=cos αcos（–β）+sin αsin（–β）=cos αcos β–sin αsin β．
即cos（α+β）=cos αcos β–sin αsin β．
3．两角和与差的正弦公式
（1）公式内容：对于任意角 α，β，有 sin（α±β）=____________________．简记为 S（α±β）．
（2）公式推导：
运用差角的余弦公式 C（α–β）及诱导公式，可得
sin（α+β）=cos[ –（α+β）]
=cos[（ –α）–β]=cos（ –α）cos β+sin（ –α）sin β=sin αcos β+cos αsin β．
运用差角的余弦公式 C（α+β）及诱导公式，可得
sin（α–β）=cos[ –（α–β）]
=cos[（ –α）+β]=cos（ –α）cos β–sin（ –α）sin β=sin αcos β–cos αsin β．
4．两角和与差的正切公式
1
（1）公式内容：tan（α±β）=____________________（α，β，α±β≠+kπ，k∈Z）．简记为 T（α±β）．
（2）公式推导：
当cos（α+β）≠0时，将公式 S（α+β），C（α+β）的两边分别相除，
有tan（α+β）=，
若cos αcos β≠0，将上式的分子、分母分别除以 cos αcos β，
得tan（α+β）=．
在T（α+β）中，将 β用–β来替换，可得 tan（α–β）=tan[α+（–β）]= = ．
5．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α=____________________．
（2）C2α：cos 2α=cos2α–sin2α=____________________=1–2sin2α．
（3）T2α：tan 2α=____________________（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）．
6．二倍角公式的变形应用
（1）倍角公式的逆用：
S2α：2sin αcos α=sin 2α；sin α= ；
C2α：cos2α–sin2α=2cos2α–1=1–2sin2α=cos 2α；
T2α：=tan 2α；=tan 2α（ ）．
（2）配方变形：1±sin 2α= ±2sin αcos α=（sin α±cos α）2．
（3）因式分解变形：cos 2α=cos2α–sin2α=（cos α+sin α）（cos α–sin α）
（4）升幂公式：
1+cos α=2cos2；1–cos α=2sin2；
1+sin α=（sin +cos ）2；1–sin α=（sin –cos ）2．
（5）降幂公式：
2
sin2α= ；cos2α= ；sin αcos α= sin 2α．
（6）三倍角公式：
sin 3α=3sin α–4sin3α；
cos 3α=4cos3α–3cos α；
（简记为：正弦三减四，余弦四减三，立方总在四后边）
tan 3α=．
1．cos αcos β+sin αsin β2．cos αcos β–sin αsin β
3
．sin αcos β±cos αsin β4．
5．（1）2sin αcos α（2）2cos2α–1（3）
重点
1．熟练应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公
式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联
系；
难点 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
帮知识 参考答案
帮知识 参考答案
3
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