专题3.1 解三角形（常规型）（新高考）（解析版）

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专题 3.1 解三角形（常规型）
1．“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略：
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，
要抓住能够利用某个定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
2．“边化角”或“角化边”的变换策略：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
3．三角形面积的最值问题的解题策略：
（1）找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．
【预测题 1】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足
．
（1）求 ；
（2）若 ， 的外接圆半径为 ，求 的边 上的高 ．
1
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用正弦定理将条件转化为边的关系，再结合余弦定理可得角 ；
（2）由正弦定理求出 ，利用余弦定理和三角形面积公式可得 的边 上的高．
【解析】（1）由 ，得 ，
由正弦定理，得 ，整理，得 ，
所以 ，又 ，所以 ．
（2） 的外接圆半径为 ，
由正弦定理有 ：即 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
所以 的面积 ，
所以 ．
【 预 测 题 2】在 斜 三 角 形 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 且
．
（1）若 的面积为 ，且满足 ，求角 的大小；
（2）证明： ．
2
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据三角形面积公式以及 求解出 的表示，再根据已知的 的表
示可求 的值，则角 可求；（2）根据 以及正弦定理可得
，根据 将 表示为 的形式，结合诱导公式以
及两角和的正弦公式进行化简，从而可完成证明．
【解析】 由 ， ，得 ，
又 ， ， ．
， ．
由 及正弦定理得 ，
．
，
，
，
．
【名师点睛】利用正弦定理进行边角互化时需要注意：
（1）合理选择边化角或角化边；
3
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