专题3.1 高中数学填选题解题技巧（解析版）

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专题 3.1 高中数学填选题解题技巧
解题策略：
解答填空题的基本策略是“正确、合理、迅速”. 正确是解题的根本，由于填空题只填
写最终结果，因而答案的正确显得尤为重要，因而解题时要思维缜密，步骤严谨，特别注意
审题，清楚要求解的问题是什么，对答案中的细节要求要看清楚，如：“用数字作答”、
“正确的是”、“不正确的是”、“写出所有真命题的代号”、“填上你认为正确的一个即
可”、“不等式的解集是”等等，要按照要求答题；合理是正确的前提，运算过程合理，运
算方法简便为运算结果的正确提供必要的保证；而迅速是建立在合理的基础上，要提高速度
必须概念清楚、运算熟练以及科学、合理的巧解. 所以解题时要认真审题、弄清概念、明白
算理、善于转化.
高考数学选择题的特点是：①提供了供选择的多个选择支(只有一个正确项)；②不要求
写出解答过程；③对解题速度有更高的要求. 所以解答选择题的基本策略是尽量“不择手
段”的采用最简捷方法快速准确的作答，一是要充分挖掘各选择支的暗示作用，二是要巧妙
有效的排除迷惑支的干扰. 快速解答选择题要靠基础知识的熟练和思维方法的灵活以及科学、
合理的巧解，应尽量避免小题大做，否则将导致后面的解答题没有充裕的时间思考而后悔惋
惜.
解题技巧：让学生学会小题小做，争取巧做，尽力做到合理、正确、迅速。
1．解填空题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求
将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题
的基本要求.
2．解选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、
最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚
1
x
o
3
2
2
y
A
2
-
x
B
o
3
2
2
y
2
-
2
x
o
3
2
2
y
C
-
x
o
3
2
2
y
D
2
-
至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.
一、特例法
当填空题或选择题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值或是范围可
猜想时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置、
特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊猜想等，代入或者比照选项来确定答案。
（一）取特殊值
【例 1】等差数列
{
an
}
的前
m
项和为 30，前
2m
项和为 100，则它的前
3m
项和为
【难度】★★
【答案】210
【解析】取
m=1
，依题意
a1=30
，
a1+a2=100
，则
，又
{
an
}
是等差数列，从而
a3=110
，故
S3=210
【例 2】
cos2a+cos2(a+120∘)+cos2(a+240∘)=
．
【难度】★★
【答案】
3
2
【解析】令 ，则 ．
【例 3】函数
tan sin tan siny x x x x  
在区间
3
( , )
2 2
 
内的图象是（ ）
【难度】★★
【答案】D
【解析】利用特殊值
x=π
4
代入即可，答案选 D
（二）特殊函数
【例4】如果
(
x+
√
x2+1
) (
y+
√
y2+1
)
=1
，那么下面的不等式恒成立的是 （ ）
A
、
x=y=0
B
、
x+y=0
C
、
xy=0
D
、
x+y>0
【难度】★★
【答案】
B
2
【解析】构造函数
f
(
x
)
=lg
(
x+
√
x2+1
)
(
x∈R
)
，易证
f
(
x
)
是
R
上的奇函数且单调递增，由
题中条件可得
f
(
x
)
+f
(
y
)
=0
，即
x+y=0
。
【例5】已知
f(x)
是定义在
R
上的函数，且
f(1)=1
，对任意
x∈R
都有下列两式成立：
（1）
f(x+5)≥f(x)+5
；（2）
f(x+1)≤f(x)+1
若
g(x)=f(x)+1−x
，则
g(6)
的值为
___________
【难度】★★
【答案】1
【解析】令
f(x)=x
【例6】如果函数 对任意实数 都有 ，那么
的大小关系是 .
【难度】★★
【答案】
【解析】由于 ，故知 的对称轴是 .可取特殊函数
，即可求得 .∴.
（三）特殊数列
【例7】已知两个等差数列
{
an
}
和
{
bn
}
的前
n
项和分别为
An
和
Bn
，且
An
Bn
=7n+45
n+3
，则使得
an
bn
为整数的正整数
n
的个数有 个。
【难度】★★
【答案】5
【解析】因为等差数列的前
n
项和为二次函数且没有常数项，不妨设
An=7n2+45 n
，
Bn=n2+3n
，代入求解可得
an
bn
=7+12
n+1
，满足题意的正整数
n
为 1，2，3，5，11，共有
5个。
【例8】在各项均为正数的等比数列中，若，则
（ ）
A.12 B.10 C.8 D.
【难度】★★
【答案】B
【解析】因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列即可，选 B．
【例9】已知
{an}
是公差不为零的等差数列，如果
Sn
是
{an}
的前
n
项和，那么
lim
n→∞
nan
Sn
=
__
_______
3
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