专题3.1 函数的概念及其表示（精讲）-2022年新高考数学一轮复习学与练（原卷版）

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专题 3.1 函数的概念及其表示

【考纲要求】

1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.

2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.

3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.

4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.

【知识清单】

1．函数的概念

函数

两个集合

A，B

设A，B是两个

非空数集

对应关系

f：A→B

如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个数

x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应

2．函数的定义域、值域

(1)在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做

函数值，函数值的集合 { f ( x )| x ∈ A } 叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示方法

（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式

叫做函数的解析式

（2）图象法：以自变量 x的取值为横坐标，对应的函数值 y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，

这些点构成了函数 y＝f(x)的图象，这种用__图象__表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法

（3）列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出 __表

格__来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法

4．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段

函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几

个部分组成，但它表示的是一个函数.

【考点梳理】

考点一函数的概念

【典例 1】（2020·洪洞县第一中学高三期中（文））下面各组函数中是同一函数的是（）

A．与

B．与

C．与

D．与

【典例 2】如图所示，能够作为函数 y＝f(x)的图象的有____.

【规律方法】

1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即 A，B必须是非空数集；A中任何一个元

素在 B中必须有元素与其对应；A中任一元素在 B中必有唯一元素与其对应．

2．函数的定义中“任一 x”与“有唯一确定的 y”说明函数中两变量 x，y的对应关系是“一对一”或者是

“多对一”而不能是“一对多”．

3.函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断

定义域、对应关系是否分别相同．

【变式探究】

1. ，则与表示同一函数的是（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

2.（2018 届江西省检测考试（二））设

M={x∨0≤ x ≤ 4}

，

N={ y∨−4≤ y ≤0}

，函数

(

)

的定义域为

，值域为

，则

(

)

的图象可以是（）

2y x 

2y x x 

 

y x

1 1y x x   

  

1 1y x x  

 

2 1f x x x  

 

2 1g t t t  

x R

 

f x

 

g x

 

f x x

 

g x x

 

1f x 

   

1g x x 

 

f x x



 

g x



 

f x x





 

3g x x 

A. B.

C. D.

【易混辨析】

1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．

2.从图象看，直线 x=a 与图象最多有一个交点.

考点二：求函数的定义域

【典例 3】（2020·北京高考真题）函数的定义域是____________．

【典例 4】（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数定义域是，则

的定义域是（）

A．[0, ] B． C． D．

【典例 5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数的定义域是 ,则函数的定

义域是( )

A. B. C. D.无法确定

【规律方法】

1.已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)若

(

)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的

( 1)y f x  [ 2,3]

(2 1)y f x 

[ 1, 4]

[ 5,5]

[ 3,7]

(3 1)f x 

 

0, 2

 

f x

 

0, 2

[ 1]

3，

[-1 5]，

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