专题03函数概念与基本初等函数选择填空题（解析版）

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大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（上海卷）
专题 03 函数概念与基本初等函数选择填空题
1．【2018 年上海 16】设D是含数 1的有限实数集，f（x）是定义在 D上的函数，若 f（x）的图象绕原点
逆时针旋转
π
6
后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（　　　　）
A．
√
3
B．
√
3
2
C．
√
3
3
D．0
【答案】解：由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转
π
6
个单位后与下一个
点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当 f（1）
¿
√
3
，
√
3
3
，0时，
此时得到的圆心角为
，
π
6
，0，
然而此时 x＝0或者 x＝1时，都有 2个y与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个 x只能对应一个 y，
因此只有当 x
¿
√
3
2
，此时旋转
π
6
，
此时满足一个 x只会对应一个 y，
因此答案就选：B．
故选：B．
2．【2016 年上海理科 18】设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为 R的三个函数，对于命题：①f（x）
+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则 f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；
②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以 T为周期的函数，则 f（x）、g（x）、h（x）
均是以 T为周期的函数，下列判断正确的是（　　　　）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
1
【答案】解：①不成立．可举反例：f（x）
¿
{
2x，x≤ 1
− x +3，x＞1
．g（x）
¿
{
2x+3，x ≤ 0
− x +3，0＜x＜1
2x，x ≥1
，h（x）
¿
{
− x ，x≤ 0
2x，x＞0
．
②∵f（x）+g（x）＝f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）＝f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）＝
h（x+T）+g（x+T），
前两式作差可得：g（x）﹣h（x）＝g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）＝g（x+T），h（x）
＝h（x+T），同理可得：f（x）＝f（x+T），因此②正确．
故选：D．
3．【2014 年上海理科 18】设f（x）
¿¿
，若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a的取值范围为（　　　　）
A．[ 1﹣，2] B．[ 1﹣，0] C．[1，2] D．[0，2]
【答案】解；当 a＜0时，显然 f（0）不是 f（x）的最小值，
当a≥0 时，f（0）＝a2，
由题意得：a2≤x
+1
x+¿
a，
解不等式：a2﹣a2≤0﹣，得﹣1≤a≤2，
0≤∴a≤2，
故选：D．
4．【2011 年上海理科 16】下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（
）
A．
y=ln 1
¿x∨¿¿
B．y＝x3C．y＝2|x|D．y＝cosx
【答案】解：对于
y=ln 1
¿x∨¿¿
函数的定义域为 x∈R且x≠0
将x用﹣x代替函数的解析式不变，
所以是偶函数
当x∈（0，+∞）时，
y=ln 1
¿x∨¿=ln 1
x¿
∵
y '=−1
x＜0
2
∴
y=ln 1
¿x∨¿¿
在区间（0，+∞）上单调递减的函数
故选：A．
5．【2020 年上海卷 11】设a∈R，若存在定义域为 R的函数 f（x）同时满足下列两个条件：
（1）对任意的 x0∈R，f（x0）的值为 x0或x02；
（2）关于 x的方程 f（x）＝a无实数解，
则a的取值范围是　　．
【答案】解：根据条件（1）可得 x0＝0或1，
又因为关于 x的方程 f（x）＝a无实数解，所以 a≠0 或1，
故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．
6．【2019 年上海卷 06】已知函数 f（x）周期为 1，且当 0＜x≤1 时，f（x）＝log2x，则 f（
3
2
）＝　 　．
【答案】因为函数 f（x）周期为 1，所以 f（
3
2
）＝f（
1
2
），
因为当 0＜x≤1 时，f（x）＝log2x，所以 f（
1
2
）＝﹣1，
故答案为：﹣1．
7．【2019 年上海卷 12】已知 f（x）＝|
2
x −1−
a|（x＞1，a＞0），f（x）与 x轴交点为 A，若对于 f（x）图
象上任意一点 P，在其图象上总存在另一点 Q（P、Q异于 A），满足 AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则 a＝
．
【答案】由题意，可知：
令f（x）＝|
2
x −1−
a|＝0，解得：x
¿2
a+¿
1，
∴点A的坐标为：（
2
a+¿
1，0）．
则f（x）
¿
{
2
x −1− a ，1＜x ≤ x A
−2
x − 1+a，x＞xA
．
∴f（x）大致图象如下：
3
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