专题03二项式定理（解析版）-2021年高考数学（理）计数原理与概率突破性讲练

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2021 年高考数学（理）计数原理与概率突破性讲练
03 二项式定理
一、考点传真：
1.能用计数原理证明二项式定理；
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
二、知识点梳理：
1.二项式定理
(1)二项式定理：(
a
＋
b
)
n
＝C
a
n
＋ C
a
n
－
1
b
＋…＋ C
a
n
－
r
b
r
＋…＋ C
b
n
(
n
∈N*)；
(2)通项公式：
Tr
＋1＝C
a
n
－
r
b
r
，它表示第
r
＋
1
项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即 C ＝ C
增减性 二项式系数 C
当
k
＜(
n
∈N*)时，是递增的
当
k
＞(
n
∈N*)时，是递减的
二项式系数最
大值
当
n
为偶数时，中间的一项 取得最大值
当
n
为奇数时，中间的两项 与 取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(
a
＋
b
)
n
展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2
n
.
1
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2
n
－
1
.
【注意点】
(
a
＋
b
)
n
的展开式形式上的特点
(1)项数为
n
＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数
n
，即
a
与
b
的指数的和为
n
.
(3)字母
a
按降幂排列，从第一项开始，次数由
n
逐项减 1 直到零；字母
b
按升幂排列，从第一项起，次数
由零逐项增 1 直到
n
.
(4)二项式的系数从 C，C，一直到 C，C.
三、例题：
例1.（2020 年全国 1卷理数，8） 的展开式中 的系数为( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】C
【解析】因为 的展开式的第 项 ，所以 的展开式中 的系数为
.故选 C.
例2.（2020 年全国 3卷理数，14） 的展开式中常数项是___________（用数字作答）.
【答案】240
【解析】 展开式的通项 ，令 ，解得 ，所以常数
项为
2
例3.（2020 年浙江卷，12）二项展开式 ，则 _______；
_______.
【答案】80；122
【解析】由二项式定理得， 展开式的通项公式为 ，所以 ，
， ， ，所以 .
例 4.（2019 全国卷 III）（1+2
x
2 ）（1+
x
）4的展开式中
x
3的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】
2 4
(1 2 )(1 )x x 
的展开式中
3
x
的系数为
3 1 3
4 4
1 C 1 2 C 1 12   
．故选 A．
例 5.（2019 浙江卷）在二项式
9
( 2 )x
的展开式中，常数项是________，系数为有理数的
项的个数是_______.
【答案】5
【解析】：二项式
 
9
2x
的展开式的通项为
．
由
0r
，得常数项是
1
16 2T
；当
r
=1，3，5，7，9 时，系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数
是 5 个．
例 6.（2019 天津卷）
8
3
1
28
x
x
 
 
 
是展开式中的常数项为 .
【答案】28
3
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