专题03 直线与椭圆相结合问题（第五篇）（解析版）

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第五篇 解析几何
专题 03 直线与椭圆相结合问题
类型 对应典例
直线与椭圆相结合求直线方程 典例 1
直线与椭圆位置关系求参数范围 典例 2
弦长问题 典例 3
中点弦问题 典例 4
直线与椭圆相结合的综合问题 典例 5
【典例 1】【陕西省榆林市 2019 届高考第三次模拟测试】在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ：
的离心率为 ，直线 和椭圆 交于 ， 两点，当直线 过椭圆 的焦点，
且与 轴垂直时， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 过点 且倾斜角为钝角， 为弦 的中点，当 最大时，求直线 的方程.
【思路引导】
（1）由题意列方程组可得 ， ，据此可得椭圆方程；
（2）设 ，直线 的方程为： ，联立直线方程与椭圆方程可得
1
，结合向量知识可得 ，由等号成立的条件可
得直线方程.
【详解】
（1）由题意： ，∴ ， ，∴椭圆 的标准方程为： ；
（2）设 ，直线 的方程为： ，
联立方程 可得： ，∴ ，
取 的方向向量为 ，取 的方向向量为 ，
∴ ，
当且仅当 ，即： 时取等号，此时 最大，
直线 的方程为： .
【典例 2】【湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测】已知点 是椭圆
的一个焦点,点 在椭圆 上.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
2
（Ⅱ）若直线 与椭圆 交于不同的 两点,且 (为坐标原点),求直线 斜率的取值范
围.
【思路引导】
（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为 ，利用椭圆的定义，求得 ，再理由椭圆中
，求得 的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设 直线的方程为 ，联立方程组，利用根与系数的关系，求得 ，在由
，进而可求解斜率的取值范围，得到答案。
【详解】
（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为 ，
所以点 到两焦点的距离之和为 .
所以 .
又因为 ，所以 ，则椭圆 的方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知， ，不符合题意.
故设 直线的方程为 ， ， ，
联立 ，可得 .
3
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