专题03 直线的平行与垂直（解析版）

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直线的平行与垂直

【知识梳理】

（一）、两条直线平行与斜率之间的关系

设两条不重合的直线 l1,l2,倾斜角分别为 α1,α2,斜率存在时斜率分别为 k1,k2.则对应关系如

下:

前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°

对应关系 l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在

图示

点睛：若没有指明 l1,l2不重合,那么 k1=k2⇔

{

l1∥l2,

或l1与l2,重合

用斜率证明三点共线时,常用到

这一结论.

1.对于两条不重合的直线 l1,l2,“l1∥l2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?

答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,

有可能两直线斜率均不存在.

2.已知直线 l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线 l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x=

.

解析:由题意知 l1⊥x轴.又l1∥l2,所以 l2⊥x轴,故x=2.

答案:2

（二）、两条直线垂直与斜率之间的关系

对应

关系

l1与l2的斜率都存在,分

别为 k1,k2,则

l1⊥l2⇔k1·k2=-1

l1与l2中的一条斜率不存在,另

一条斜率为零,则l1与l2的位置

关系是 l1⊥l2.

图示

点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直

线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直

（三）、两条直线的位置关系（一般式）：

l1:A1x+B1y+C1=0

，

l2:A2x+B2y+C2=0

；

⑴ 两条直线相交、平行与重合条件：

① 相交的条件：

A1B2− A2B1≠0

或

≠B1

(

A2B2≠0

)

② 平行的条件：

A1B2− A2B1=0

且

B1C2− C1B2≠0

或

=B1

≠C1

(

A2B2C2≠0

)

③ 重合的条件：

A1=λ A2

，

B1=λ B2

，

C1=λ C2(λ ≠ 0)

或

=B1

=C1

(

A2B2C2≠0

)

⑵ 两条直线垂直的条件：

A1A2+B1B2=0

．

【例题精讲】

知识点一：平行

1. (2020·山东省·期中考试)下列说法中正确的是

()

A. 若直线

与

的斜率相等，则

l1/¿l2

B. 若直线

与

互相平行，则它们的斜率相等

C. 在直线

与

中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则

与

定相

交

D. 若直线

与

的斜率都不存在，则

l1/¿l2

【答案】C

【解答】

解：对于 A，若直线

与

的斜率相等，则

l1/¿l2

或

与

重合，所以 A不正确；

对于 B，若直线

与

互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在，所以 B不正确；

对于 C，在直线

与

中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，两条直线不

平行，则

与

定相交，正确；

对于 D，若直线

与

的斜率都不存在，则

l1/¿l2

或

与

重合，所以 D不正确；

故选：C．

2. (2020·山东省·同步练习)已知直线

经过点，，直线

经过点

C(1,m)

，

D(−1, m+1)

，当直线

与

平行时，实数 m的值为

A. 3B.

−1

−3

D. 1

【答案】A

【解答】

解：由题意，直线

与

平行，

由直线

经过点

C(1,m)

，

D(−1, m+1)

，得

kCD=m+1−m

−1−1=−1

，

则直线

的斜率存在，且

kAB =4−1

−3−m =3

−3−m =−1

，

解得

m=3

；

故选 A．

3. (2021· 河北省衡水市 ·模拟题 )已知集合

A={( x , y)∨2x+y=0}

，

B={(x , y)∨x+my +1=0}.

若

A ∩ B=∅⌀

，则实数

m=¿

−2

−1

D. 2

【答案】C

【解析】

解：由题意，集合 A表示直线

2x+y=0

上所有点构成的集合，

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