专题03 证明平行的方法（解析版）

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证明平行的方法

证明平行在每年的高考大题中几乎都有，一般为大题，并且为中档题，所以我们一定要将这个分数得

到，为此有必要对这一部分好好归纳总结一下。平行分为三种：线线平行、线面平行、面面平行。下面对

证明它们的方法归纳如下：

一、线线平行

证明线线平行的方法主要有以下几种：

1．初中证明线线平行的常用方法：⑴平行四边形的对边平行，⑵三角形（梯形）的中位线，

⑶同位角相等（内错角相等、同旁内角互补）两直线平行，⑷平行线截割定律逆定理。

2.直线与平面平行的性质定理（）。

3.平面与平面平行的性质定理（）。

4.直线与平面垂直的性质定理（）

例1. 在如图所示的几何体中，四边形 ACC1A1是矩形，FC1∥BC，EF∥A1C1，点 A，B，E，A1在一个平面

内，求证 A1E∥AB.

证明：∵四边形 ACC1A1是矩形，∴A1C1∥AC.又AC⊂平面 ABC，A1C1⊄平面 ABC，

∴A1C1∥平面 ABC.∵FC1∥BC，BC⊂平面 ABC，∴FC1∥平面 ABC.

又∵A1C1，FC1⊂平面 A1EFC1，∴平面 A1EFC1∥平面 ABC.又∵平面 ABEA1与平面 A1EFC1、平面 ABC 的交线

分别是 A1E，AB，∴A1E∥AB.

点评：本解法利用了平面与平面平行的性质定理。

变式.已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过点 G 和 AP 作一平面

交平面 BDM 于 GH.

求证:AP∥GH.

证明：连接 AC 交 BD 于点 O, 连接 MO. 因为四边形 ABCD 是平行四边形 , 所以 O 是 AC 的中

点,又 M 是 PC 的中点,所以 AP∥OM.而 PA⊄平面 BDM,OM⊂平面 BDM,所以 AP∥平面 BMD.

因为 AP⊂平面 PAHG,平面 PAHG∩平面 BMD=GH,所以 AP GH.∥

二、线面平行

证明线面平行的方法主要有两种：

1. 利用线面平行的判定定理(a α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；

2. 利用面面平行的性质定理 2(α∥β，a⊂α⇒a∥β)。

例2.：如图，在四面体 A－BCD 中，F、E、H分别是棱 AB、BD、AC 的中点，G为DE 的中点．证明：直

线HG∥平面 CEF.

证明　：法一(利用线面平行的判定定理):如图，连接 BH，BH 与CF 交于 K，连接 EK.

∵F、H分别是 AB、AC 的中点，∴K是△ABC 的重心，∴＝.

又据题设条件知，＝，∴＝，∴EK∥GH.

∵EK⊂平面 CEF，GH⊄平面 CEF，

∴直线 HG∥平面 CEF.

法二(利用面面平行的性质定理 2):　如图，取 CD 的中点 N，连接 GN、HN.

∵G为DE 的中点，∴GN∥CE.∵CE⊂平面 CEF，GN⊄平面 CEF，∴GN∥平面 CEF.

连接 FH，EN,∵F、E、H分别是棱 AB、BD、AC 的中点，

∴FH∥BC

，

FH=BC，EN∥BC，EN=BC

，

∴FH∥EN，

FH=EN

，

∴四边形 FHNE 为平行四边形，∴HN∥EF.

∵EF⊂平面 CEF，HN⊄平面 CEF，

∴HN∥ 平面 CEF.HN∩GN ＝N， ∴ 平面 GHN∥ 平面 CEF.∵GH⊂平面

GHN，

∴直线 HG∥平面 CEF.

变式. 如图所示，两个全等的正方形 ABCD 和ABEF 所在平面相交于 AB，M∈AC，N∈FB，且 AM＝

FN，求证：MN∥平面 BCE.

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