专题03 圆锥曲线中定值、定点问题分析（文）（解析版）

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专题 03 圆锥曲线中定值、定点问题分析
内容提要
纵观历年高考真题，圆锥曲线中的定值、定点问题是高考中的热点题型，以解答题为
主，难度一般较大，考查函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用．本文坚持
直曲联立，韦达定理传统方法培养的同时，增加齐次联立法，分析椭圆、双曲线、抛物线
中定值、定点问题分析，望读者能曲径通幽．
方法归纳
方法 1：韦达定理 设而不求
方法 2：齐次联立 整体代入
方法 3：韦达定理 设而可求
溯本求源
【例 1】（2019 重庆八中高二期中）设椭圆 ： 的左、右焦点分别
为 ， ，下顶点为 ，椭圆 的离心率是 ， 的面积是 ．
（1）求椭圆 的标准方程．
（2）直线 与椭圆 交于 ， 两点（异于 点），若直线 与直线 的斜率
之和为 1，证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ， ，
1
则椭圆 的标准方程是 ．
（2）（韦达定理 设而不求）当直线 的斜率为 0时，直线 与直线 关于 轴对
称，则直线 与直线 的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线 的斜率不为
0．
设 ， ，直线 的方程为
联立 ，整理得
则 ， ．
因为直线 与直线 的斜率之和为 1，所以 ，
所以 ，
将 ， 代入上式，整理得 ．
所以 ，即 ，
则直线 的方程为 ．
故直线 恒过定点 ．
【评析】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，
突出韦达定理，设而可求思想，意在考查学生的运算求解能力和转化能力，考查数形
结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算．
2
推广延伸
纵观历年高考真题中，¬经常出现有关定点与定值问题．包括以下两类热点问题：
①斜率之和为定值问题；
②斜率之积为定值问题．
审思明辨
推广 1：已知：点
P(x0, y0)
是二次曲线
Ax 2+By2=1
(AB≠0)
上一定点，
M
，
N
是该曲线上异于点
P
的两个动点，若
kPM +kPN =w
．求证：
①若
，则
kMN=Ax0
By0
或直线
MN
斜率不存在；
②若
，则直线
MN
恒过定点
(x0−2y0
w,−y0−2Ax0
Bw )
．
【证明】（齐次联立 整体代入）设
M(x1, y1)
，
N(x2, y2)
，已知
P(x0, y0)
，
则
kPM +kPN =y1−y0
x1−x0
+y2−y0
x2−x0
=w
．令
{
x'=x−x0¿ ¿¿¿
，
则
Ax 2+By2=1
转化为
A(x'+x0)2+B(y'+y0)2=1
．
又
Ax0
2+By0
2=1
，所以
A x¿+B y¿+2Ax0x'+2By0y'=0
．
设直线
MN
方程为：
m x'+n y'=1
，则
A x¿+B y¿+2Ax0x'(m x'+n y')+2By0y'(m x'+n y')=0⇒
(B+2By0n)y¿+(2Ax0n+2By0m)x'y'+( A+2Ax0m)x¿=0
所以
(B+2By0n)( y'
x')2+(2Ax0n+2By0m)y'
x'+( A+2Ax0m)=0
3
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