专题03 圆锥曲线中的定值问题-2021年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）（原卷版）

3.0 envi 2025-02-12 17 4 700.84KB 22 页 3知币

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　　专题 3 圆锥曲线中的定值问题

在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为

定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与

化归思想的应用．

探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后

消元得出定值。

题型 1、与面积有关的定值问题

经典例题：

1．（2021·四川成都市·高三三模（理））已知椭圆的长轴长为，其离心

率与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的方程；（2）将椭圆上每一点的横坐标扩大

为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，若直线与曲线交于、两个不同的点，

为坐标原点，是曲线上的一点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积.

2．（2021·安徽高三其他模拟（理））已知椭圆的离心率为，过点

．

（1）求椭圆的标准方程；（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异

于、的两点，满足，求证：面积为定值．

3.（2021 年北京高考模拟）已知椭圆：的离心率为，，，

，的面积为 1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交

于点，直线与轴交于点．求证：四边形 ABNM 的面积为定值．

4．（2021·广东潮州市·高三二模）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率

.（1）求椭圆的方程；（2）若点，是椭圆上的两个动点，，分别为直线，

的斜率且，求证：的面积为定值.

题型 2、与角度有关的定值问题

经典例题：

1．（2018·全国高考真题（文））设抛物线，点，，过点的直线与

交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．

2．（2021·全国高三专题练习）双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在

上．当时，．（1）求的离心率；（2）若在第一象限，证明：

．

3．（2021·河北秦皇岛市·高三二模）已知点为抛物线上一点，F为抛物线

C的焦点，抛物线 C在点 P处的切线与 y轴相交于点 Q，且面积为 2.（1）求抛物线 C的方程；

（2）设直线 l经过交抛物线 C于M，N两点(异于点 P)，求证：的大小为定值.

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