专题03 圆锥曲线中的定值问题-2021年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）（解析版）

3.0 envi 2025-02-12 17 4 2.71MB 63 页 3知币

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　　专题 3 圆锥曲线中的定值问题

在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为

定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与

化归思想的应用．

探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后

消元得出定值。

题型 1、与面积有关的定值问题

经典例题：

1．（2021·四川成都市·高三三模（理））已知椭圆的长轴长为，其离心

率与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的方程；（2）将椭圆上每一点的横坐标扩大

为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，若直线与曲线交于、两个不同的点，

为坐标原点，是曲线上的一点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据已知条件求出、、的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）求出曲线的方程，设、、，将直线的方程与曲线的方程联立，

列出韦达定理，求出点的坐标，代入曲线的方程，可得出，求得以及点到直线

的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】（1）由已知，，所以，又因为双曲线的离心率为，

可知，椭圆的离心率为即，故，进而，

所以椭圆的方程为；

（2）将椭圆上每一点横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线的方程为，

设、、，由，

由韦达定理可得，，

且，即，

由四边形是平行四边形，所以，

则，，

因为点在椭圆上，所以，整理可得，

所以，

则，

到直线的距离，所以四边形的面积为 .

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）

直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

2．（2021·安徽高三其他模拟（理））已知椭圆的离心率为，过点

．

（1）求椭圆的标准方程；（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异

于、的两点，满足，求证：面积为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，结合这三个量的值，由此可得出椭圆的

标准方程；（2）设直线的方程为，设直线的方程为，将这两条直线分别

与椭圆的方程联立，求出点、的坐标，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面

积公式可求得结果.

【详解】（1）由已知条件可得，解得，即椭圆的标准方程为；

（2）设、，由题意直线、的斜率存在，

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