专题03 圆锥曲线与垂心问题-2021年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）（解析版）

3.0 envi 2025-02-12 17 4 1.37MB 30 页 3知币
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专题 3、圆锥曲线与垂心问题
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥
曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。
因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学
解题能力，增强学生的信心，备战高考．
三角形的垂心：三角形三条高线的交点
（1）、H是
Δ ABC
的垂心 。
（2）、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得 2倍。
经典例题：
例1．（2020·浙江高三）记椭圆 ： 的左右焦点为 ， ，过 的直线 交椭圆于 ， ，
， 处的切线交于点 ，设 的垂心为 ，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据题意，得到 ， ，设直线 的方程为 ， ，
，求出在点 ， 处的切线方程，联立切线方程，得出点 ，根据题意，得到
轴，得出 的横坐标为 ，再由 求出 的纵坐标为 ，得出
，结合基本不等式，即可得出结果.
1
【详解】椭圆 的左右焦点为 ， ，
由题意，易知直线 的斜率存在，（若斜率不存在，则 三点共线，不能构成三角形），设直线 的
方程为 ， ， ，对 两边同时求关于 的导数，得
，则 ，则椭圆在点 处的切线斜率为 ，
则椭圆在点 处的切线方程为 ，即 ，即
；
同理，椭圆在点 处的切线方程为 ，
由 得 ，则
，
所以 ，即 ；
又 的垂心为 ，则 ， ，即 轴，则 的横坐标也为 ，记 的
2
纵坐标为 ，由 得 ，所以 ，则 ，
因此 ，因为 过点 ，所以直线 与椭圆必有两个交点，故 且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立. 故选：D.
【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，考查椭圆的切线方程，涉及基本不等式求最值，属于跨章节综
合题.
例2．（2020.江苏省高三期中）已知 是双曲线 的左､右焦点，过点 且垂直
于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于 A，B两点，则坐标原点 O可能为 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】A
【分析】根据三角形四种心的性质，即可得答案；
【详解】对 B，若 O为 的内心，则 到直线 的距离等于 ，显然不可能， 到直线
的距离恒小于 ，故 B错误；
对C，若 O为 的外心，则 ， ，和已知矛盾，故 B错误；
对D，若 O为 的重心，则 ，这也显然错误，故 C错误；
根据排除法，O可能为 的垂心，故选：A.
3
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