专题03 双曲线的参数方程（解析版）

双曲线的参数方程

一、例题讲解

1.（2020-2021·四川·月考试卷）已知曲线

C1

的极坐标方程为

ρ=8 cos θ

，以极点

O

为坐标原点，极轴为

x

轴非

负半轴建立平面直角坐标系，曲线

C2

的参数方程为

{

x=u2+1

u2，

y=u2−1

u2

（

u

为参数，

u ≠ 0

），直线

l

过

C2

与

x

轴的交

点，且倾斜角为

α

.

(1)

求曲线

C1

的直角坐标方程与曲线

C2

的普通方程；

(2)

设直线

l

与曲线

C1

相交于

A

，

B

，线段

AB

的中点为

M

，求

M

轨迹的参数方程．

【答案】解：

(1)

曲线

C1

的极坐标方程为

ρ=8 cos θ

，即

ρ2=8ρcos θ

，

又

ρ2=x2+y2

，

x=ρcos θ

，所以

C1

的直角坐标方程为

x2+y2−8x=0

．

曲线

C2

的参数方程为

{

x=u2+1

u2，

y=u2−1

u2

G（

u

为参数，

u ≠ 0

），所以

{

x+y=2u2，

x − y =2

u2，

则

(x+y)( x − y )=4

，

所以曲线

C2

的普通方程为

x2− y2=4(x ≥ 2)

．

(2)

法一：直线

l

的参数方程为

{

x=2+tcos α，

y=tsin α

（

t

为参数），代入

x2+y2−8x=0

，得

t2−4tcos α −12=0

，

设

A

，

B

，

M

的参数值分别为

t1

，

t2

，

t0

，则

t0=t1+t2

2=2cos α

，

从而，

xM=2+2cos2α=3+cos 2 α

，

yM=2 cos αsin α=sin2 α

，

所以，

M

轨迹的参数方程为

{

x=3+cos 2 α，

y=sin 2 α

（

α

为参数）．

法二：设

A(2,0)

，

C1(4,0)

，由垂径定理，知点

M

的轨迹是以

A C1

为直径的圆，其方程为

(x − 2)( x − 4)+ y2=0

，

即

x2−6x+y2+8=0

，即

¿

，

故

M

轨迹的参数方程为

{

x=3+cos θ，

y=sin θ

（

θ

为参数）．

2.（2020-2021·吉林·月考试卷）曲线

C

：

{

x=1

2

(

t+1

t

)

，

y=1

2

(

t − 1

t

)

（

t

为参数且

t∈R

），直线

l

的极坐标方程为

1

tanθ=2

(

ρ∈R

)

.

(1)

求曲线

C

和直线

l

的直角坐标方程；

(2)

若

P

为曲线

C

上一点，求

P

到直线

l

距离的最小值．

【答案】解：

(1)

由

x=1

2

(

t+1

t

)

，

y=1

2

(

t − 1

t

)

，两边平方作差得：

x2− y2=1

；

由

tanθ=y

x

，且

tanθ=2

，得

y=2x

．

所以曲线

C

的直角坐标方程为

x2− y2=1

，直线

l

的直角坐标方程为

y=2x

．

(2)

设

P

(

1

2

(

t+1

t

)

,1

2

(

t − 1

t

)

，由点到直线的距离公式可知：

d(P , l)=

|

t+1

t−1

2

(

t − 1

t

)

|

√

5=

|

1

2t+3

2t

|

√

5≥

√

3

√

5=

√

15

5

，

当且仅当

t=±

√

3

，取等号,所以

P

到直线

l

距离的最小值为

√

15

5

.

3.（2020-2021·山西·月考试卷）在平面直角坐标系

xOy

中，以

O

为极点，

x

轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，

曲线

C1

的参数方程为

{

x=

√

3

3+

√

3

2t，

y=−2

3+1

2t

（

t

为参数），曲线

C2

的参数方程为

{

x=1

cos φ，

y=

√

2 tan φ

（

φ

为参数），曲线

C1

，

C2

交于

A

，

B

两点．

(1)

求曲线

C1

的极坐标方程和曲线

C2

的普通方程；

(2)

已知

P

点的直角坐标为

(

√

3

3, − 2

3

)

，求

¿PA∨+¿PB∨¿

的值．

【答案】解：

(1)

曲线

C1

的参数方程为

{

x=

√

3

3+

√

3

2t，

y=−2

3+1

2t

（

t

为参数），消去

t

得，

x −

√

3y −

√

3=0

，

将

x=ρcos θ，y=ρsin θ

代入上式得曲线

C1

的极坐标方程为：

ρcos θ −

√

3ρsin θ −

√

3=0

，即

ρsin

(

θ − π

6

)

=−

√

3

2

.

曲线

C2

的参数方程为

{

x=1

cos φ，

y=

√

2 tan φ

（

φ

为参数），消去

φ

得，

x2−y2

2=1

，所以曲线

C2

的普通方程为

x2−y2

2=1

.

2

(2)

将

{

x=

√

3

3+

√

3

2t，

y=−2

3+1

2t

代入

x2−y2

2=1

中，得

5

8t2+4

3t − 8

9=0

.

设

A

，

B

两点所对的参数分别为

t1

，

t2

，则

t1+t2=−32

15

，

t1⋅t2=−64

45

，

所以

¿PA∨+¿PB∨¿∨t1− t2∨¿

√

¿¿

.

4.（2020-2021·广西·月考试卷）在平面直角坐标系

xOy

中，曲线

C

的参数方程为

{

x=1

cos θ,

y=sinθ

cos θ

(

θ

为参数)，以

坐标原点

O

为极点，

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线

l

的极坐标方程为

θ=π

3(ρ=R)

．

(1)

求曲线

C

的普通方程与直线

l

的直角坐标方程；

(2)

已知点

P

为

C

上任意一点，求点

P

到直线

l

距离的最小值．

【答案】解：

(1)

根据曲线

C

的参数方程得：

x2− y2=1

cos2θ−sin2θ

cos2θ=1−sin2θ

cos2θ=1

，即曲线

C

的普通方程为

x2− y2=1

．

由题意得，

tanθ=tan π

3=

√

3

，直线

l

的直角坐标方程为

y=

√

3x

．

(2)

设过点

P

与

l

平行的直线

l0

的方程为

y=

√

3x+b

，联立

{

y=

√

3x+b ,

x2− y2=1,

得

2x2+2

√

3bx+b2+1=0

，

由

Δ=12 b2−4×2×(b2+1)=4b2−8=0

，

解得

b=±

√

2

，即当直线

l0

与曲线

C

相切于点

P

时，直线

l0

的方程为

y=

√

3x ±

√

2

，

此时点

P

到直线

l

距离的最小值即为两平行线

l

与

l0

之间的距离．

所以

P

到直线

l

距离的最小值为

¿

√

2−0∨¿

√

¿¿¿ ¿

．

5.（2019-2020·广东·月考试卷）在平面直角坐标系

xOy

中，曲线

C1

的参数方程为

{

x=3+t ,

y=1+2t

（

t

为参数），曲

线

C2

的参数方程为

{

x=

√

3

cos θ,

y=

√

3 tan θ

（

θ

为参数，且

θ∈

(

π

2,3π

2

)

¿

.

(1)

求曲线

C1

和

C2

的普通方程；

(2)

若

A

，

B

分别为曲线

C1, C2

上的动点，求

¿AB∨¿

的最小值．

3

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