专题03 数列求和问题（第二篇）（解析版）

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第二篇 数列与不等式【解析版】
专题 03 数列求和问题
类型 对应典例
错位相减法求数列的和 典例 1
分组求和法求数列的和 典例 2
裂项相消法求数列的和 典例 3
分组+错位相减法求数列的和 典例 4
并项求和法求数列的和 典例 5
分组+裂项相消法求数列的和 典例 6
倒序相加法求数列的和 典例 7
【典例 1】【福建省福州市 2019-2020 学年高三上学期期末质量检测】
等差数列 的公差为 2, 分别等于等比数列 的第 2项，第 3项，第 4项.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若数列 满足 ,求数列 的前 2020 项的和．
【思路引导】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列 和 的通项公式；
(2)求出数列 的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列 的前 2020 项的和.
解：(1)依题意得: ，所以 ，
所以 解得
设等比数列 的公比为 ，所以
1
又
(2)由（1）知， 因为 ①
当 时, ② 由① ②得， ，即 ，
又当 时， 不满足上式， .
数列 的前 2020 项的和
设 ③，
则 ④，
由③ ④得：
，
所以 ，
所以 .
【典例 2】【河南省三门峡市 2019-2020 学年高三上学期期末】
已知数列 的前 n项和为 ，且满足 ，数列 中， ，对任意正整数 ，
.
（1）求数列 的通项公式；
2
（2）是否存在实数 ，使得数列 是等比数列？若存在，请求出实数 及公比 q的值，若不存
在，请说明理由；
（3）求数列 前 n项和 .
【思路引导】
（1）根据 与 的关系 即可求出；
（2）假设存在实数 ，利用等比数列的定义列式，与题目条件 ，比较对应项系数即可
求出 ，即说明存在这样的实数；
（3）由（2）可以求出 ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．
解：（1）因为 ，当 时， ；
当 时， ． 故 ；
（2）假设存在实数 ，使得数列 是等比数列，数列 中， ，
对任意正整数 ， .可得 ，且 ，
由假设可得 ，即 ，
则 ，可得 ，可得存在实数 ，使得数列 是公比 的等比数列；
（3）由（2）可得 ，则 ，
3
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