专题03 平面向量的基本定理及其坐标表示和计算（原卷版）

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专题 03 平面向量的基本定理及其坐标表示和计算
一．平面向量的基本定理及其运算公式
1.平面向量的基本定理：
如果
⃗e1,⃗e2
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
⃗a
，有且只有一对实数
λ1, λ2
使：
⃗a=λ1⃗e1+λ2⃗e2
，其中不共线的向量
⃗e1,⃗e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
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2.两个向量共线定理：
向量
⃗
b
与非零向量
⃗a
共线
⇔
有且只有一个实数
λ
，使得
⃗
b
=
λ⃗a
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3. a·b 的几何意义
数量积 a·b等于 a的长度|a|与 b在a的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．
4.平面向量的坐标运算
(1)设 a= ,b= ，则 a+b= .
(2)设 a= ,b= ，则 a-b= .
(3)设 A ，B ,则 .
(4)设 a= ，则 a= .
(5)设 a= ,b= ，则 a·b= .
5.两向量的夹角公式 (
a
= ,b= ).
6.平面两点间的距离公式
= (A ，B ).
7.向量的平行与垂直
设a= ,b= ，且 b 0，则 a||b b=λa .
a b(a 0)
a
·b=0 .
8.三角形的重心坐标公式
1
△ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC 的重心的坐标是
.
二．考点讲解
考点一：平面向量的基本定理
例 1：（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
同步导练：
1．如图，在正六边形 中，设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
考点二：应用坐标的加减，数乘和数量积运算解决问题
例 2：（1）求模----已知向量 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．10 D．5
2
（2）求夹角----若向量 ，
⃗
b=(1,−1)
，则向量 与 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
（3）求投影----已知向量 ， ，若
⃗
a⋅
⃗
b=7
，则向量 在 上的投影为______.
（4）求系数和向量坐标----已知向量 ， ， ．
（1）若 ，求 ， 的值；
（2）若向量 满足 ， ，求 的坐标．
同步导练：
1．已知平面向量 ， ，且 ，则 　　
A．B．C．D．
2 ． （ 多 选 ） 已 知 平 面 向 量 、 、 为 三 个 单 位 向 量 ， 且
⃗
OA⋅
⃗
OB=0
， 若
，则 的可能取值为 　　
3
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