专题03 平面向量的基本定理及其坐标表示和计算（解析版）

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专题 03 平面向量的基本定理及其坐标表示和计算
一．平面向量的基本定理及其运算公式
1.平面向量的基本定理：
如果
⃗e1,⃗e2
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
⃗a
，有且只有一对实数
λ1, λ2
使：
⃗a=λ1⃗e1+λ2⃗e2
，其中不共线的向量
⃗e1,⃗e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
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2.两个向量共线定理：
向量
⃗
b
与非零向量
⃗a
共线
⇔
有且只有一个实数
λ
，使得
⃗
b
=
λ⃗a
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3. a·b 的几何意义
数量积 a·b等于 a的长度|a|与 b在a的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．
4.平面向量的坐标运算
(1)设 a= ,b= ，则 a+b= .
(2)设 a= ,b= ，则 a-b= .
(3)设 A ，B ,则 .
(4)设 a= ，则 a= .
(5)设 a= ,b= ，则 a·b= .
5.两向量的夹角公式 (
a
= ,b= ).
6.平面两点间的距离公式
= (A ，B ).
7.向量的平行与垂直
设a= ,b= ，且 b 0，则 a||b b=λa .
a b(a 0)
a
·b=0 .
8.三角形的重心坐标公式
1
△ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC 的重心的坐标是
.
二．考点讲解
考点一：平面向量的基本定理
例 1：（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】判断向量是否共线，共线的不能作为平面的基底．
【详解】A．由于 ，因此 共线，不能作基底，
B．两向量不共线，可以作基底，
C．由于 ，不能作基底，
D．两向量不共线，可以作基底，
故选：AC．
同步导练：
1．如图，在正六边形 中，设 ，则 （ ）
A． B．
2
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意有 ，则由 可得答案.
【详解】在正六边形 中 ，
则.
故选：C
考点二：应用坐标的加减，数乘和数量积运算解决问题
例 2：（1）求模----已知向量 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．10 D．5
【答案】D
【分析】根据向量 ，求得 的坐标，再利用求模公式求解.
【详解】因为向量 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
（2）求夹角----若向量 ，
⃗
b=(1,−1)
，则向量 与 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用坐标运算计算向量 与 的坐标，再根据向量积的定义式求解夹角的余弦值，即得
结果.
【详解】向量 ， ，则 ， ，
3
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