专题03 利用抛物线定义巧求最值（原卷版）

3.0 envi 2025-02-12 16 4 70.21KB 2 页 3知币

利用抛物线定义巧求最值

有关抛物线的题目，常常考查利用抛物线定义求最值。下面结合实例归纳总结如下：

一、将点到线的距离转化为点到焦点的距离

利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为点到焦点的距离。

例1．已知抛物线方程为 y2＝4x，直线 l的方程为 x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点 P到y轴的距离为

d1，P到直线 l的距离为 d2，则 d1＋d2的最小值为(　　)

A. B．＋1 C.－2 D．－1

变式．已知直线 l1：4x－3y＋6＝0和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x上一动点 P到直线 l1和直线 l2的距离

之和的最小值是(　　)．

A．2 B．3 C. D.

二、将点到焦点的距离转化为点到准线的距离

利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离

例2．已知点 P在抛物线 y2＝4x上，那么点 P到点 Q(2，－1)的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取最小

值时，点 P的坐标为(　　)

A. B. C．(1,2) D．(1，－2)

变式．设P是抛物线 y2＝4x上的一个动点．

(1)求点 P到点 A(－1,1)的距离与点 P到直线 x＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

小试牛刀

1．已知 P为抛物线 y2＝4x上一动点，记点 P到y轴的距离为 d，对于定点 A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为(

)

A．4 B. C.－1 D.－1

2．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之

和的最小值为（）

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