专题03 利用抛物线定义巧求最值（解析版）

3.0 envi 2025-02-12 17 4 153.93KB 4 页 3知币

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利用抛物线定义巧求最值

有关抛物线的题目，常常考查利用抛物线定义求最值。下面结合实例归纳总结如下：

一、将点到线的距离转化为点到焦点的距离

利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为点到焦点的距离。

例1．已知抛物线方程为 y2＝4x，直线 l的方程为 x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点 P到y轴的距离为

d1，P到直线 l的距离为 d2，则 d1＋d2的最小值为(　　)

A. B．＋1 C.－2 D．－1

答案：D

解析：设抛物线焦点为 F，过 P作PA 与准线垂直，垂足为 A，作 PB 与l垂直，垂足为 B，则 d1＋d2＝|PA|

＋|PB|－1＝|PF|＋|PB|－1，显然当 P、F、B三点共线(即P点在由 F向l作垂线的垂线段上)时，d1＋d2取到

最小值，最小值为－1.

变式．已知直线 l1：4x－3y＋6＝0和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x上一动点 P到直线 l1和直线 l2的距离

之和的最小值是(　　)．

A．2 B．3 C. D.

答案：A

.解析：直线 l2：x＝－1为抛物线 y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于 P到抛物线的焦点

F(1，0)的距离，故本题化为在抛物线 y2＝4x上找一个点 P使得 P到点 F(1，0)和直线 l1的距离之和最小，

最小值为 F(1，0)到直线 l1：4x－3y＋6＝0的距离，

即dmin＝＝2，故选择 A.

二、将点到焦点的距离转化为点到准线的距离

利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离

例2．已知点 P在抛物线 y2＝4x上，那么点 P到点 Q(2，－1)的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取最小

值时，点 P的坐标为(　　)

A. B. C．(1,2) D．(1，－2)

答案：A.

解析：点P到抛物线焦点距离等于点 P到抛物线准线距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在

S，P，Q三点共线时取得，此时 P，Q的纵坐标都是－1，点 P坐标为.

变式．设P是抛物线 y2＝4x上的一个动点．

(1)求点 P到点 A(－1,1)的距离与点 P到直线 x＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

解：(1)如图甲所示，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x＝－1，由抛物线的定义知点 P到直线 x＝－1

的距离等于点 P到焦点 F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P到点 A(－1,1)的距离与

点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，A，P，F三点共线时所求的距离之和最小且最小值为|AF|，即为.

(2)如图乙所示，BQ 垂直准线于 Q且交抛物线于点 P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|

＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为 4.

点评：抛物线中求距离和的最值，往往要用到抛物线的定义。具体是点到准线的距离转化为点到焦点距

离，还是点到焦点距离转化为点到准线的距离，要根据题目确定，一般尝试之下都能成功。

小试牛刀

1．已知 P为抛物线 y2＝4x上一动点，记点 P到y轴的距离为 d，对于定点 A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为(

)

A．4 B. C.－1 D.－1

1.D 因为 A在抛物线的外部，所以，当点 P、A、F共线时，|PA|＋|PF|最小，此时|PA|＋d也最小，|PA|＋

d＝|PA|＋(|PF|－1)＝|AF|－1＝－1＝－1.

2．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之

和的最小值为（）

A. B.3 C. D.

2.A 由题意，设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则，根据抛物线的定义可

知点到该抛物线的准线的距离为 ,则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离

之和，故选 A.

3．F是抛物线 y2＝2x 的焦点，P是抛物线上任一点，A(3,1)是定点，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　)

A．2 B． C．3 D．

3.B 如图，|PF|＋|PA|＝|PB|＋|PA|，显然当 A、B、P共线时，|PF|＋|PA|取到最小值

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