专题03 利用导数求函数的极值、最值（第六篇）（解析版）

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第六篇函数与导数

专题 03 利用导数求函数的极值、最值

类型对应典例

求不含参数的极值（或极值点）典例 1

求含参数的极值（或极值点）典例 2

极值的意义应用典例 3

利用极值求参数的值或取值范围典例 4

含极值点的不等式证明典例 5

求不含参数的最值典例 6

求含参数的最值典例 7

【典例 1】【陕西省渭南市 2019 届高三二模】已知函数．

(Ⅰ)求函数的极值；

(Ⅱ)若,且,求证：．

【思路引导】

(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数的极值；(Ⅱ)得到

,根据函数的单调性问题转化为证明，即证 ,令

，根据函数的单调性证明即可．

【详解】

(Ⅰ) 的定义域为且

令，得；令，得

在上单调递增，在上单调递减

函数的极大值为，无极小值

(Ⅱ) ，

，即

由(Ⅰ)知在上单调递增，在上单调递减

且，则

要证，即证，即证，即证

即证

由于，即，即证

令

则

恒成立在递增

在恒成立

【典例 2】【2019 年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知函数 f（x）= x3

（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．

（1）当 a= 1 时，求函数 y=f（x）的单调区间；

（2）求函数 y=f（x）的极值点．

【思路引导】

（1）先求解导数，利用导数取值的正负可得单调区间；

（2）先求解导数，结合导数零点情况判断函数极值点的情况.

【详解】

（1）当 a= 1 时，．∵ =x22x+1=（x 1）2≥0，

故函数在 R内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．

（2）∵ =x2（a2+a+2）x+a2（a+2）=（x a2）[x （a+2）]，

①当a= 1 或a=2 时，a2=a+2，∵ ≥0恒成立，函数为增函数，无极值；

②当a＜1或a＞2时，a2＞a+2，

可得当 x∈（ ∞，a+2）时，＞0，函数为增函数；

当x∈（a+2，a2）时，＜0，函数为减函数；

当x∈（a2，+∞）时，＞0，函数为增函数．

当x=a+2 时，函数有极大值 f（a+2），当 x=a2时，函数有极小值 f（a2）．

③ 当 1＜a＜2时，a2＜a+2．

可得当 x∈（-∞，a2）时，＞0，函数为增函数；

当x∈（a2，a+2）时，＜0，函数为减函数；

当x∈（a+2，+∞）时，＞0，函数为增函数．

当x=a+2 时，函数有极小值 f（a+2）；当 x=a2时，函数有极大值 f（a2）．

综上可得：当 a= 1 或a=2 时，函数无极值点；当 a＜1或a＞2时，函数有极大值点 a+2，函数有极小值

点a2；当 1＜a＜2时，函数有极大值点 a2，函数有极小值点 a+2.

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