专题03 立体几何（解析版）

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立体几何专项练习
1．如图，在直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） .中，底面
是菱形，且 是凌 的中点，
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
2．如图，底边 是边长为 3的正方形，平面 平面 ，
.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 60°？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由.
3．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 为等腰直角三角形，
， ， 是 的中点，二面角 的大小等于 120°.
（1）在 上是否存在点 ，使得平面 平面 ，若存在，求出点 的
位置；若不存在，请说明理由.
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
4．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几
何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多
面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），
多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．
例如：正四面体在每个顶点有 3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲
率为 ，故其总曲率为 ．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数．
5．如图，四边形 中， 是等腰直角三角形， ， 是
边长为 2的正三角形，以 为折痕，将 向上折叠到 的位置，使
点在平面 内的射影在 上，再将 向下折叠到 的位置，使平面
平面 ，形成几何体 .
（1）点 在 上，若 平面 ，求点 的位置；
（2）求二面角 的余弦值.
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