专题03 几何体的体积求解（第三篇）（解析版）

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第三篇 立体几何
专题 03 几何体的体积求解
类型 对应典例
公式法求体积 典例 1
等体积法求体积 典例 2
切割法求体积 典例 3
由体积求侧面积 典例 4
由体积求参数的值 典例 5
【典例 1】【陕西省渭南市 2020 届高三上学期期末】
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为正方形，△PAD 为等边三角形，平面 PAD 丄平面 PCD.
(1)证明：平面 PAD 丄平面 ABCD:
(2)若AB=2，Q为线段的中点，求三棱锥 Q-PCD 的体积.
【思路引导】
（1）取 的中点 ，连结 ，利用面面垂直的性质，证得 平面 ，再由正方形的性质，证
得 ，利用线面垂直的判定定理，得到 平面 ，进而得到平面 平面 ；
（2）由（1）得 到平面 的距离 ，进而求得 到平面 的距离 ，利用体积公式，
即可求解．
【详解】
（1）证明：取 的中点 ，连结 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
1
又因为 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为底面 为正方形，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）得 平面 ，所以 到平面 的距离 ，
因为底面 为正方形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 两点到平面 的距离相等，均为 ，
又 为线段 的中点，所以 到平面 的距离 ，
由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
所以 ．
【典例 2】【2020 届河北九校高三上学期第二次联考】
如图，在三棱锥 中，正三角形 所在平面与等腰三角形 所在平面互相垂直， ，
是 中点， 于 .
2
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
【思路引导】
（1）先证明 平面 ，得到 ，结合已知 ，证得 平面 .（2）将所
求 转化为 ，利用（1）的结论得到三棱锥的高为 ，由此计算得三棱锥的体积.
解：（1）∵AB＝BC，O是AC 中点，
∴BO⊥AC，
又平面 PAC⊥平面 ABC，
且 平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC，
∴BO⊥平面 PAC，
∴BO⊥PC，
又OH⊥PC，BO∩OH＝O，
∴PC⊥平面 BOH；
（2）∵△HAO 与△HOC 面积相等，
∴,
∵BO⊥平面 PAC,∴,
∵,∠HOC=30°∴,
∴,
3
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