专题03 函数的对称性（解析版）
高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2020 版】
结论三：函数的对称性
结
论
已知函数 f(x)是定义在 R上的函数.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线 x=
a+b
2
对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则
y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称;
(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点
(
a+b
2,c
2
)
对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则
y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
解
读
有对称的定义可以说明这两个结论的成立。例如：如果函数 y=f（x）满足 f（a+x）=f（b-x），则
y=f（x）图象关于 x=
a+b
2
对称，由于 f（a+x）=f（b-x），两式中的变量到直线 x=
a+b
2
的距离相等
并且函数值也相等，所以 y=f（x）图象关于 x=
a+b
2
对称。
典
例
定义域为 的函数 满足 ，函数 .若 与
的图象有 4个交点，且每个交点的横坐标之和与纵坐标之和分别为 ， ，则
（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
解
析
因为 ，所以 的图象关于点 对称，
又 ，故 的图象也关于点 对称，
1
则 ， ，故 .故选：C
反
思
本题考查了函数的对称性及其应用以及数形结合的思想。
由 可得 的图象关于点 对称，
由 ，所以 的图象也关于点 对称，
再由对称性求解.
针对训练*举一反三
1．已知定义在区间 上的函数 满足 ，当 时，
，如果关于 x的方程 有解，记所有解的和为 S，则 S不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意作出在区间 上的简图，
当直线 与函数 的图象有交点时，则可得 ，
2
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