专题03 函数-备战2021年新高考数学纠错笔记 （原卷版）

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专题 03 函数
易错点
易错点 1 忽视端点值
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分
段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值
域的并集．
【例 1】　已知函数 f(x)＝为 R上的减函数，则实数 a的取值范围为____.
【错解】因为函数 f(x)＝为 R上的减函数，所以 f(x)＝(a－1)x－a在(－∞，1]上是减函数，
且f(x)＝(a＋1)x2在(1，＋∞)上是减函数，所以解得 a＜－1.
所以 a的取值范围为{a|a＜－1}．
【错因分析】上述解法只考虑了分段函数在每一段的单调性，而忽视了接点处两段函数值的大小关系，
从而导致答案错误．
【正解】因为函数 f(x)＝为 R上的减函数，
所以解得 a≤－4.所以 a的取值范围为{a|a≤－4}．
【巩固练习 1】已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
易错点 2 换元求解析式时忽略自变量范
1
函数解析式的四种常用求法
(1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x替代 g(x)，便得
f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)解方程组法：已知关于 f(x)与f()或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方
程组，通过解方程求出 f(x)．
【例 2】已知 ，则 f（x）的解析式为 .
【错解】令 ，则 x＝t2＋1，所以 f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2，即有 f（x）＝2－x2.
【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“ ”是有范围限制的．利用
换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．
【正解】令 ，则 t≥0，且 x＝t2＋1，所以 f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2（t≥0），
即f（x）＝2－x2（x≥0）．
【巩固练习 2】已知函数 ，求函数 的解析式.
易错点 3 判断函数单调性忽视定义域
函数的单调性是一个局部概念，单调区间是定义域的一个子区间，因此，在解答函数的单调性问题时
必须首先考虑函数的定义域，
【例 3】试求函数 f(x)＝log4(7＋6x－x2)的单调递增区间.
【错解】设 y＝log4u，u＝g(x)＝7＋6x－x2＝－(x－3)2＋16，则对二次函数 u＝g(x)，当 x≤3 时为增
函数；当 x≥3 时为减函数，又 y＝log4u 是增函数，故由复合函数的单调性知，所求函数的单调递增区间
为(－∞,3].
2
【错解分析】上述解答中就是忽视了原函数的定义域{x|－1≤x≤7}，因为函数的单调区间是函数定
义域的子区间.
【正解】设 y＝log4u，u＝g(x)＝7＋6x－x2＝－(x－3)2＋16，则
对二次函数 u＝g(x)，当 x≤3 时为增函数；当 x≥3 时为减函数，
又 y＝log4u 是增函数，且由 7＋6x－x2＞0 得函数的定义域为(－1,7)，
于是函数 f(x)的增区间是(－1,3].
【巩固练习 3】函数 y＝log3(x2－4x＋3)的单调区间为 .
易错点 4 忽略函数奇偶性对定义域的限制条件
判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对
称的既不是奇函数也不是偶函数.再找 与 的关系.
若 ，则函数 为偶函数；若 ，则函数 为奇函数.
【例 4】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x－1)；
(2)f(x)＝.
【错解】(1)f(x)＝(x－1)·＝.
因为 f(－x)＝＝f(x)，所以 f(x)为偶函数．
(2)f(－x)＝＝，
因为 f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，
所以 f(x)为非奇非偶函数．
【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要
在定义域制约条件下将 f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性．
3
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