专题03 二次根式-走进新高一之2021年暑假初升高数学完美衔接课（解析版）
专题 03：二次根式
1. 二次根式的定义：一般地，形如 的式子叫做二次根式.
2. 二次根式的性质
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5）.
3. 无理式的定义：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式，如 是无理式，而
不是无理式.
4. 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式，或通过约分的方法达到分母有理化的目的.
5. 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理
化因式，常用的有理化因式有：
（1） 与 ；
（2）与；
（3）与.
4. 分子有理化：把分子中的根号化去，叫做分母有理化.
方法：分子、分母同时乘分子的有理化因式.
5. 二次根式的大小比较：二次根式比较大小的方法有平方比较法、作差比较法、求商比较法、求倒数比
较法等，其中，比较常用的是平方比较法.
1
6. 二次根式的运算：二次根式的加减类似于多项式的加减，先化成最简二次根式，再对同类二次根式进
行合并；二次根式的乘法类似于多项式的乘法；二次根式的除法，通常写成分数的形式，再进行分母有理
化.
例1：二次根式的意义
已知实数 满足 ，求 的值是多少？
【解答】2019
【解析】∵二次根式有意义，
，即 ，
，
，
解得 ，
等式两边平方，整理得 .
例2：二次根式的性质与化简
若实数 、 满足 ，求 、 之间的数量关系？
【解答】
【解析】 ，
，
同理可得 ，
①＋②可得 ， .
例3：分母有理化
2
已知 ，求 的值.
【解答】
当 时，原式 .
例4：比较大小
试比较 与 的大小.
【解答】
【解析】
化简后分母相同，分子不同，所以倒数大的反而小，所以 .
3
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2024-09-26 135
作者：envi
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