专题03 对棱相等模型（解析版）

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专题 03 对棱相等模型（解析版）
一、解题技巧归纳总结
1．对棱相等模型
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题.
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得 而
显 然 四 面 体 和 长 方 体 有 相 同 的 外 接 球 ， 设 外 接 球 半 径 为 ， 则 ， 所 以
.
二、典型例题
例1．三棱锥 中，已知 ， ， ，那么该三棱锥外接
球的表面积为 　　
A．B．C．D．
【解析】三棱锥 的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，
它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为： ， ，
体对角线的长为球的直径，
它的外接球半径是 ，
外接球的表面积是 ，
故选： ．
例2．如图所示三棱锥 ，其中 ， ， ，则该三棱锥外接
球的表面积为　 　 ．
1
【解析】如图，
三棱锥 的三条侧棱两两相等， 把它扩展为长方体，
它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：5，6，7，体对角线的长为球的直径，
．
它的外接球半径是 ．
外接球的表面积是 ．
故答案为： ．
三、配套练习
1．四面体 的一组对棱分别相等，且长度依次为 ， ，5，则该四面体的外接球的表面积为
　　
A．B．C．D．
【解析】 四面体 的一组对棱分别相等，且长度依次为 ， ，5，
可将其补为一个三个面上对角线分别为 ， ，5的长方体，如图所示：
2
长方体的三边长分别为 2，3，4，
长方体的外接球即是四面体的外接球， 四面体的外接球的半径为 ，
四面体的外接球的表面积为： ，
故选： ．
2．在四面体 中，三组对棱棱长分别相等且依次为 ， ，5则此四面体 的外接球的半径
为 　　
A．B．5 C．D．4
【解析】 四面体 中，三组对棱棱长分别相等，
故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为 ， ，5的长方体，
则其外接球的直径 ，
则
故选： ．
3．如图，在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 外接
球的体积为 　　
3
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