专题03 独立性检验（第四篇）（原卷版）

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第四篇概率与统计

专题 03 独立性检验

类型对应典例

以茎叶图为背景分析数据考查独立性检验典例 1

以频率分布直方图为背景分析数据考查独立性检验典例 2

以频率分布表为背景分析数据考查独立性检验典例 3

以抽样方法为背景分析数据考查独立性检验典例 4

的观察值大小的比较分析判断

典例 5

以条形图扇形图为背景分析数据考查独立性检验典例 6

【典例 1】【2018 年全国卷Ⅲ理数高考试题】

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种

生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第

二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的

工人数填入下面的列联表：

超过不超过

第一种生产方式

第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：，

分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．

（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．

（3）由公式计算出，再与 6.635 比较可得结果．

【典例 2】【2020 届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试】

某健身馆在 2019 年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估 2020 年7、8两月客户投入的健身消费

金额，健身馆随机抽样统计了 2019 年7、8两月 100 名客户的消费金额，分组如下：，，

，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：

（1）请用抽样的数据预估 2020 年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表）；

（2）若把 2019 年7、8两月健身消费金额不低于 800 元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列

联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有的把握认为“健身达

人”与性别有关？

健身达人非健身达人总计

男10

女30

总计

（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.

方案一：每满 800 元可立减 100 元；

方案二：金额超过 800 元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖 1次打 9折，中

奖2次打 8折，中奖 3次打 7折.

若某人打算购买 1000 元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.附：

0.150 0.100 0.050 0.010 0.005

2.072 2.706 3.841 6.635 7.879

【分析】

（1）利用频率分布直方图计算平均数即可；

（2）根据题意补充列表联，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；

（3）分别计算选方案一、方案二所支付的金额，比较它们的大小即可.

【典例 3】【2020 届广东省东莞市高三期末调研测试】

东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离

家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．

某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小

时）每辆每次收费5元；超过 4小时不超过 6小时，每增加一小时收费增加 3元；超过 6小时不超过 8小时，

每增加一小时收费增加 4元，超过 8小时至24 小时内（含24 小时）收费30 元；超过 24 小时，按前述标准

重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计 1000 辆车的

停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：

（小时）

频数（车100 100 200 200 350 50

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