专题03 导数在研究函数中的应用-2020年4月高二数学（理）开学大串讲（选修2-2）

3.0 envi 2025-02-12 14 4 441.39KB 10 页 3知币

侵权投诉

专题 03 导数在研究函数中的应用

知识点总结

一、利用导数研究函数的单调性

1.函数在区间内可导

1）如果在内，，则在此区间是增函数，为的单调增区间．

2）如果在内，，则在此区间是减函数，为的单调减区间．

3）如果在内，恒成立，则在此区间是常函数，不具有单调性．

注：单调区间是指单调增区间或单调减区间．

2.利用导数研究函数单调性的基本步骤

1）确定函数的定义域；

2）求导数，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；

3）由（或）解出相应的的取值范围．当时，在相应的区间内是单调增函数；

当时，在相应的区间内是单调减函数．一般需要通过列表，写出函数的单调区间．

注：①单调区间不能用“ ”连接，应用“ ”隔开或用“和”连接．

②“在区间内单调递减”可转化为“在区间内且不恒为 ”或“区间是

减区间的子集”

二、利用导数研究函数的极值、最值

1.极大值点：已知函数，设是定义域内任一点，如果对附近的所有点，都有，

则称函数在点处取极大值，记作．并把称为函数的一个极大值点．

2.极小值点：如果在附近都有，则称函数在点处取极小值，记作．并把

称为函数的一个极小值点．

3.极值和极值点：极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点．

注：极值点是个数，而不是个坐标．

4.求函数的极值的方法：

1）求函数的定义域

2）求导数；

3）求方程的所有实数根；

4）考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．

如果的符号由正变负，则是极大值；

如果由负变正，则是极小值．

如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值．

5.一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤：

1）求出函数在内所有极值；

2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个

是最小值．

6.最值与极值的区别与联系

1）极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言；

2）最值和极值都不一定存在；

3）极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．

习题

1．设 f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 f′（x）的图象可能是（　　）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】由 f（x）的图象可得，在 y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，

即有导数小于 0，可排除 C，D；

再由 y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，

函数 f（x）递减，再递增，后递减，

即有导数先小于 0，再大于 0，最后小于 0，

可排除 A；

则B正确．

故选：B．

2．的单调递减区间为（　　）

A．[ 1﹣，1] B．（0，1）

C．[1，+∞）D．（0，+∞）

【答案】B

【解析】函数的定义域为 x＞0，∵ ，

令＜0，由于 x＞0，从而得 0＜x＜1，

∴函数的单调递减区间是（0，1）．

故选：B．

3．函数 f（x）=2x33﹣x2+a的极大值为 6，那么 a的值是（　　）

A．5 B．0

C．6 D．1

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

专题03 导数在研究函数中的应用-2020年4月高二数学（理）开学大串讲（选修2-2）.docx

共10页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

专题03 导数在研究函数中的应用-2020年4月高二数学（理）开学大串讲（选修2-2）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: