专题03 导数及其应用——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（原卷版）

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专题 03 导数及其应用

1．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】曲线的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为

2．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】设函数．若，则 a=_________．

3．【2020 年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达

标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量 W与时间 t的关系为，用的大小评

价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的

关系如下图所示.

给出下列四个结论：

① 在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

② 在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③ 在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④ 甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

4．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数 .

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

5．【2020 年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数 f（x）=2lnx+1．

（1）若 f（x）≤2x+c，求 c的取值范围；

（2）设 a>0 时，讨论函数 g（x）=的单调性．

6．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有三个零点，求的取值范围．

7．【2020 年高考天津】已知函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，

（i）求曲线在点处的切线方程；

（ii）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有

．

8．【2020 年高考北京】已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

9．【2020 年高考浙江】已知，函数，其中 e=2.71828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；

（Ⅱ）记 x0为函数在上的零点，证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）．

10．【2020 年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平

线MN 上，桥 AB 与MN 平行，为铅垂线(在AB 上)．经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D到MN

的距离 (米)与D到的距离 a(米)之间满足关系式；右侧曲线 BO 上任一点 F到MN 的距

离(米)与F到的距离 b(米)之间满足关系式 .已知点 B到的距离为 40 米．

（1）求桥 AB 的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩 CD 和EF，且 CE 为80 米，其中 C，E在AB 上(不包括

端点)．.桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 (万元)(k>0)，问为多少米时，桥墩 CD

与EF 的总造价最低？

11．【2020 年高考江苏】已知关于 x的函数与在区间 D上恒有

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