专题03 导数及其应用——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（解析版）

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专题 03 导数及其应用

1．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】曲线的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为

【答案】

【解析】设切线的切点坐标为，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为，即 .

故答案为： .

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

2．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】设函数．若，则 a=_________．

【答案】1

【解析】由函数的解析式可得：，

则：，据此可得：，

整理可得：，解得： .

故答案为： .

【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.

3．【2020 年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达

标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量 W与时间 t的关系为，用的大小评

价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的

关系如下图所示.

给出下列四个结论：

① 在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

② 在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③ 在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④ 甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

【答案】①②③

【解析】表示区间端点连线斜率的负数，

在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能

力比乙企业强；①正确；

甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最

大，即在的污水治理能力最强．④错误；

在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙

企业强；②正确；

在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；

故答案为：①②③

【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.

4．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数 .

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【解析】（1）当 a=1 时，f（x）=ex–x–2，则 =ex–1．

当x<0 时， <0；当 x>0 时， >0．

所以 f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．

（2）=ex–a．

当a≤0 时， >0，所以 f（x）在（–∞，+∞）单调递增，

故f（x）至多存在 1个零点，不合题意．

当a>0 时，由 =0 可得 x=lna．

当x∈（–∞，lna）时， <0；

当x∈（lna，+∞）时， >0．所以 f（x）在（–∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，

故当 x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为 f（lna）=–a（1+lna）．

（i）若 0≤a≤，则 f（lna）≥0，f（x）在（–∞，+∞）至多存在 1个零点，不合题意．

（ii）若 a>，则 f（lna）<0．

由于 f（–2）=e–2>0，所以 f（x）在（–∞，lna）存在唯一零点．

由（1）知，当 x>2 时，ex–x–2>0，所以当 x>4 且x>2ln（2a）时，

．

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