专题03 导数的概念及其几何意义（重难点突破）解析版2021年春季高二数学辅导讲义(人教A版）
专题 01 导数的概念
【重难点知识点网络】：
一、平均变化率
1.变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；
2.平均变化率
一般地，函数 f(x)在区间 上的平均变化率为：
3.如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出 和
②作商：对所求得的差作商，即 。
二、导数的概念
定义：函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数
在 处的导数,记作
三、求导数的方法：
求导数值的一般步骤：
① 求函数的增量： ；
② 求平均变化率： ；
③ 求极限，得导数： 。
1
也可称为三步法求导数。
2
【重难点题型突破】：
一、平均变化率与瞬时变化率
函数 在某点 处的导数
例 1．（1）设函数 ，当自变量 x 由 改变到 +Δx 时，函数的增量 Δy 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 由公式 可得，故选 D。
（2）若函数
f
（
x
）=2
x
2－1 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δ
x
，1+Δ
y
），则
Δy
Δx
等于
A.4 B.4
x
C.4+2Δ
x
D.4+2Δ
x
2
【答案】C
【解析】Δ
y
=2（1+Δ
x
）2－1－1=2Δ
x
2+4Δ
x
，
Δy
Δx
=4+2Δ
x
.
例2. 函数 在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。
【解析】 ∵
，∴
例3.求函数 y=2x2+5 在区间[2，2+Δx]上的平均变化率；并计算当 时，平均变化率的值。
【答案】 ∵
∴，函数在区间[2，2+Δx]上的平均变化率为 。
当 时， ，即平均变化率的值为 9.
例4. 已知函数
f
(
x
)= 的图象上的一点 及临近一点 ,则
．
3
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