专题03 不等式的恒成立与能成立（双元类）高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

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专题 03 不等式的恒成立与能成立（双元类）

【方法点拨】

1.∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max；

∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立,则f(x)min> g(x) min；

∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立,则f(x) max > g(x) min.

记忆方法：都任意，大小小大（即对于两个变量都是“任意”的，不等式中较大者的最小值大于不等式

中较小者的最大值），存在换任意，大小应互换.

2.双元型不等式恒成立、能成立问题一般应遵循“双元化一元，逐一处理”的策略，即选择主次元的方法，

一般应”先独立后分参”,即先处置独立变量（所谓”独立变量”是指与所求参数无关的变量），再处置另

一变量,而解题过程中往往采取分参方法.

【典型例题】

例1 (2020· 盐城高一期中考 ·22 改编 )若对任意，存在，使不等式

成立，则实数的取值范围是 .

【答案】

【解析一】与所求参数无关，是“独立变量”，先视为以“ ”为主元的二次不等式的恒成立，

即不等式在上恒成立，

所以，

即，存在，使不等式成立，

再视为以“ ”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，

设，则只需或，即或，

所以实数的取值范围为 .

【解析二】与所求参数无关，是“独立变量”，先视为以“ ”为主元的二次不等式的恒成立，

即不等式在上恒成立，

所以，

即，存在，使不等式成立，

再视为以“ ”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，

即在能成立

分离变量得

设，则在区间上单增，

所以，故，即

所以实数的取值范围为 .

点评：

1．二元存在性、恒成立问题应考虑“主次元”思想；

2．解法二用到了“分离参数”构造函数的方法，一般来说，求参变量范围问题，应尽量做到“能分则

分”，以避免参数参与运算带来的分类讨论等不必要的麻烦.

例2 (2021·江苏泰州高三第一学期期中·21 改编)已知函数，，若

(0，)，[ 1﹣，0]，使得成立，求实数 a的取值范围．

【考点】不等式的恒成立问题

【解析】双变量问题，逐一突破，这里先处理不含参部分

由题意得，，，

当时，，

令，则，

易知在上为减函数，故

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