专题03 直线与椭圆相结合问题（解析版）

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第五篇解析几何

专题 03 直线与椭圆相结合问题

类型对应典例

直线与椭圆相结合求直线方程典例 1

直线与椭圆位置关系求参数范围典例 2

弦长问题典例 3

中点弦问题典例 4

直线与椭圆相结合的综合问题典例 5

【典例 1】【2021·江苏常州市·高三一模】已知 O为坐标系原点，椭圆的右焦点为点 F，右

准线为直线 n.

（1）过点的直线交椭圆 C于两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点 O，求该直线的方

程；

（2）已知直线 l上有且只有一个点到 F的距离与到直线 n的距离之比为 .直线 l与直线 n交于点 N，过 F

作x轴的垂线，交直线 l于点 M.求证：为定值.

【思路引导】（1）设过点的直线为交于椭圆，联立直线和椭圆的

方程得到韦达定理，求出直线的斜率即得解；

（2）分析得到直线与椭圆相切，设直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到，

求出 ,再把代入化简即得解.

【解析】（1）设过点的直线为交于椭圆

联立消去 y得

又因为以线段为直径的圆经过原点，

则

则所求直线方程

（2）已知椭圆的离心率为，右准线直线 n的方程为，

因为直线上只有一点到 F的距离与到直线 n的距离之比为，

所以直线与椭圆相切，

设直线的方程为，联立消去 y得到：

①

联立点 N坐标为

得到

由①

【典例 2】【2021·扬州大学附属中学高三月考】已知椭圆的右焦点为，

过点 F且垂直于 x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2．

（1）求椭圆 C的方程；

（2）过椭圆内一点 P（0，t），斜率为 k的直线 l交椭圆 C于M，N两点，设直线 OM，ON（O为坐标原

点）的斜率分别为 k1，k2，若对任意 k，存在实数 λ，使得，求实数 λ的取值范围．

【思路引导】（1）由题意可知，再将代入椭圆可得，进而可得，根据

即可求解.

（2）设直线 l的方程为，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理可得

，结合可得，又即可求解.

【解析】解：（1）椭圆的右焦点为，则，

∵过点 F且垂直于 x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2，

，解得，，即，

∴，解得，

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