专题03 数列求和问题 （解析版）

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第二篇 数列与不等式【解析版】
专题 03 数列求和问题
类型 对应典例
错位相减法求数列的和 典例 1
分组求和法求数列的和 典例 2
裂项相消法求数列的和 典例 3
分组+错位相减法求数列的和 典例 4
并项求和法求数列的和 典例 5
分组+裂项相消法求数列的和 典例 6
倒序相加法求数列的和 典例 7
【典例 1】【2021·河北石家庄市·高三一模】
已知公差不为 0的等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 .
【思路引导】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，根据题设条件，列出方程求得 ，即可求得数列
的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，结合“乘公比错位相减法”，即可求解.
【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，
由 ， ， 成等比数列，可得 ，即 ，
解得 或 （舍），所以数列 的通项公式 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
1
所以 ，
可得 ，
两式相减得
所以
.
【典例 2】【2021·辽宁省盘锦市高三二模】
已知数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ，满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【思路引导】（1）根据 求出 ，进一步求出 ．
（2）化简 ，利用分组求和的方法求出答案.
【解析】解：（1）设数列 的公比为 ，
因为
于是 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 ，
2
所以 ．
（2）由（1）可得， ，
.
【典例 3】【2021·云南昆明市·高三模拟】
已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，证明： .
【思路引导】（1）根据等差数列的性质及题干条件，可求得 ，代入公式，即可求得数列 的通项
公式；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消求和法，即可求得 ，即可得证.
【解析】（1）设数列 的公差为 ，在 中，令 ，得 ，
即 ，故 ①.
3
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