专题03 三角函数中的实际应用问题（解析版）

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第一篇三角函数与解三角形

专题 03 三角函数中的实际应用问题

类型对应典例

以解三角形为背景借助正余弦定理建立函数关系典例 1

以三角形面积为背景借助基本不等式求解最值典例 2

以三角函数图象为背景探求实际问题的最值典例 3

以组合图形为背景考查解三角形的实际应用问题典例 4

以三角探究性问题研究方案的可能性问题典例 5

以实物为背景建立三角函数关系借助导数求最值典例 6

以实际方位为背景考查三角函数求值与三角实际问题典例 7

【典例 1】【2021·江苏连云港一中高三模拟测试】

如图，直线 l为经过市中心 O的一条道路，B、C是位于道路 l上的两个市场，在市中心 O正西方向的道路

较远处分布着一些村庄，为方便村民生活，市政府决定从村庄附近的点 A处修建两条道路 AB、AC，l与OA

的夹角为（OA＞3km，∠OAC 为锐角）．已知以的速度从 O点到达 B、C的时间分别为 t，

（1）当 t＝1时：①设计 AB 的长为，求此时 OA 的长；②修建道路 AB，AC 的费用均为 a元/km，

现需要使工程耗费最少，直接写出所需总费用的最小值．

（2）若点 A与市中心 O相距，铺设时测量出道路 AC，AB 的夹角为，求时间 t的值．

【思路点拨】（1）本小题根据余弦定理先求 OA，再根据 OA 求AC，最后求修建道路 AB，AC 的费用的最小

值即可.

（2）本小题先根据正弦定理建立方程求出 tanθ＝2，再根据正弦定理求解即可.

【解析】（1）①当 t＝1时，OB＝2，∵AB＝3，∠AOC＝，OC＝2（1+ ）＝2 +6，

由余弦定理可得 AB2＝OA2+OB22﹣OA•OBcos ，即 27＝OA2+12 2﹣OA•2 × ，

解得 OA＝3 + ；，

AC2＝OA2+OC22﹣OA•OCcos ＝（3 + ）2+（2 +6）22﹣（3 + ）（2 +6）• ＝63+18

18﹣

AC＝

∴修建道路 AB，AC 的费用的最小值为（ +3 ）a元．

（2）设∠BAO＝θ，在△ABO 中，由正弦定理可得：＝＝．

同理在△ABC 中，＝，且 BC＝BO，∠ACO＝ ﹣θ．∴ ＝

，

∴＝，化为：sinθcosθ＝，θ∈，tanθ∈（0，），sinθ，cosθ≠0．

∴＝＝，解得 tanθ＝2．

在△ABO 中，BO＝＝＝＝2．∴t＝＝1h．

【典例 2】【2021·浙江丽水中学高三期末】

由于 2020 年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3 月份复工复产工作逐步推

进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在 6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济小店经､

济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商

场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且

在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，(

为长度单位).陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路

灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

（1）求点到点的距离；

（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.

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