专题03 空间向量与立体几何（原卷版）-【新高考】2021年高考数学考前复习高频易考解答题专题

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专题 03 空间向量与立体几何

知识必备+难点剖析+模拟演练

知识必备

1．直线与平面平行的判定与性质

判定性质

定义定理

图形

条件 a ∩ α ＝ ∅ a  α ， b α ，

a ∥ b a ∥ α a ∥ α ， a  β ，

α ∩ β ＝ b

结论 a∥α b∥αa∩α＝∅a ∥ b

2.面面平行的判定与性质

判定性质

定义定理

图形

条件 α ∩ β ＝ ∅

a  β ， b  β ， a ∩ b

＝

P ， a ∥ α ， b ∥ α

α ∥ β ， α ∩ γ ＝

a ， β ∩ γ ＝ b α∥β，aβ

结论 α∥β α∥β a∥b a∥α

3．直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法

① 定义法．

② 利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．

③ 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．

(2)直线和平面垂直的性质

① 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．

② 垂直于同一个平面的两条直线平行．

③ 垂直于同一条直线的两平面平行．

4．平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法

① 定义法．

② 利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

(2)平面与平面垂直的性质

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．

5.空间向量中平行垂直问题基础知识

直线 l的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)．平面 α，β的法向量 u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)

(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0

(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3

(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4

(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0

6.利用空间向量求空间角基础知识

(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线 a，b的方向向量分别为 a，b，异面直线所成的角为 θ，则 cos θ＝|

cos〈a，b〉|＝.

(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量 n，直线的方向向量 a，设线面所成的角为 θ，则 sin θ＝|

cos〈n，a〉|＝.

(3)向量法求二面角：求出二面角 α－l－β的两个半平面 α与β的法向量 n1，n2，

若二面角 α－l－β所成的角 θ为锐角，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝；

若二面角 α－l－β所成的角 θ为钝角，则 cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.

难点剖析

1．证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直

线在平面外，一条直线在平面内．

2．在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作

判定定理使用，亦可作性质定理使用．

3．辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)．

4．两个平面垂直的性质定理

两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点

到平面距离的依据，要过平面外一点 P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点 P并且和 α垂直的平面 β，设 β∩α＝

l，在 β内作直线 a⊥l，则 a⊥α.

5．两平面垂直的判定

(1)两个平面所成的二面角是直角；

(2)一个平面经过另一平面的垂线．

6.运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：

①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；

⑤转化为几何结论．

7.求空间角应注意：

①两条异面直线所成的角 α不一定是直线的方向向量的夹角 β，即 cos α＝|cos β|.

②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．

探究类问题的解法

1空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行

判断.

2解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否

有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.

模拟演练

1．（2021·云南高三二模（理））如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，

，，为棱的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

2．（2021·四川绵阳市·高三三模（理））如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，

，平面 .

（1）求证：平面平面；

（2）若，，求二面角所成角的余弦值.

3．（2021·北京通州区·高三一模）如图，三棱锥中，平面，，

，点 E，F分别是，的中点．

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