专题03 空间向量与立体几何（解析版）-【新高考】2021年高考数学考前复习高频易考解答题专题

3.0 envi 2025-02-12 14 4 1.95MB 21 页 3知币
侵权投诉
专题 03 空间向量与立体几何
知识必备+难点剖析+模拟演练
知识必备
1．直线与平面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 a ∩ α ＝ ∅ a α ， b α ，
a ∥ b a ∥ α a ∥ α ， a β ，
α ∩ β ＝ b
结论 a∥α b∥αa∩α＝∅a ∥ b
2.面面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 α ∩ β ＝ ∅
a β ， b β ， a ∩ b
＝
P ， a ∥ α ， b ∥ α
α ∥ β ， α ∩ γ ＝
a ， β ∩ γ ＝ b α∥β，aβ
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α
3．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
① 定义法．
② 利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．
③ 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．
(2)直线和平面垂直的性质
① 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
② 垂直于同一个平面的两条直线平行．
③ 垂直于同一条直线的两平面平行．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
① 定义法．
② 利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
(2)平面与平面垂直的性质
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
5.空间向量中平行垂直问题基础知识
直线 l的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)．平面 α，β的法向量 u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)
(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0
1
(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3
(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4
(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0
6.利用空间向量求空间角基础知识
(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线 a，b的方向向量分别为 a，b，异面直线所成的角为 θ，则 cos θ＝|
cos〈a，b〉|＝.
(2)向量法求线 面所成的角 ：求 出平 面的 法向量 n，直线的方向向量 a，设 线面所成的角为 θ，则 sin θ＝|
cos〈n，a〉|＝.
(3)向量法求二面角：求出二面角 α－l－β的两个半平面 α与β的法向量 n1，n2，
若二面角 α－l－β所成的角 θ为锐角，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝；
若二面角 α－l－β所成的角 θ为钝角，则 cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.
难点剖析
1．证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直
线在平面外，一条直线在平面内．
2．在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作
判定定理使用，亦可作性质定理使用．
3．辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)．
4．两个平面垂直的性质定理
两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点
到平面距离的依据，要过平面外一点 P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点 P并且和 α垂直的平面 β，设 β∩α＝
l，在 β内作直线 a⊥l，则 a⊥α.
5．两平面垂直的判定
(1)两个平面所成的二面角是直角；
(2)一个平面经过另一平面的垂线．
6.运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：
①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；
⑤转化为几何结论．
7.求空间角应注意：
①两条异面直线所成的角 α不一定是直线的方向向量的夹角 β，即 cos α＝|cos β|.
②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．
探究类问题的解法
1空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行
判断.
2解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否
有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.
2
模拟演练
1．（2021·云南高三二模（理））如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形， ，
， ， 为棱 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
【解析】（1）证明：设 ，由四边形 是菱形， 为棱 的中点，
， ，在 中， ，
由 ，解得 .
，即 .
， 且 ，
平面 ，又 平面 ，
， ，
平面 ，又 平面 ，
面 面 .
（2）过点 作直线 的平行线交直线 于点 ，则题设知， ， ， ，分别以射
3
专题03 空间向量与立体几何（解析版）-【新高考】2021年高考数学考前复习高频易考解答题专题.docx

共21页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：21 页 大小：1.95MB 格式：DOCX 时间：2025-02-12

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 21
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注