专题03 几何体的体积求解（解析版）

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第三篇 立体几何
专题 03 几何体的体积求解
类型 对应典例
公式法求体积 典例 1
等体积法求体积 典例 2
切割法求体积 典例 3
由体积求侧面积 典例 4
由体积求参数的值 典例 5
【典例 1】【2021·安徽高三上学期期末】
（月考）如图，在四棱锥 中， ， 平面 ， ，
， 是 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
【思路引导】（1）取 中点 ，由 ，证得 ，再由 平面 ，证得
，
得到 平面 ，进而证得平面 平面 .
（2）由（1）可得 ，证得 平面 ，根据 ，即可求解.
1
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ，
因为 ，所以 ，
由 平面 ， 平面 ，所以 ，
又由 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 是 中位线，所以 ，
四边形 是平行四边形，于是 平而 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）由（1）可得 ，且 平面 ，所以 平面 ，
所以 ，
因为 平面 ，可得 ，
又由 ， ， ，
所以 ， ，
所以 .
【典例 2】【2021·河南郑州市·郑州一中高三模拟】
2
如图，在三棱柱 中，侧面 底面 ABC， ，且
，O为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点 E在 上，且 平面 ，求三棱锥 的体积.
【思路引导】（1）先证明 平面 ，再利用面面垂直的判定定理证明平面 平面 ；
（2）先判断出 E为 中点，用等体积转化法求三棱锥 的体积.
【解析】（1） ，
在 中， ，O是 的中点， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 .
平面 .
平面 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 .
（2）如图，
3
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