专题2.16 导数-不等式的证明（解析版）

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专题 2.16 导数-不等式的证明
利用导数证明不等式问题，具体方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明
（或 ），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函
数．
1．已知函数 ．
（1）若 存在极值，求 的取值范围；
（2）当 时，求证： ．
【试题来源】2021 届高三下学期 4月冲刺联考
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）对函数求导，分 和 两种情况，分别判断出函数的单调性与极值，
可得 的取值范围；（2）当 时，设 ， 成立，
即证明 ，对函数求导判断出单调性和最值，可得命题成立．
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时，对任意的 ， ，
1
故 在 上单调递增， 无极值；
当 时，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
故 在 处取得极大值，无极小值．
综上所述，若 存在极值，则 的取值范围为 ．
（2）当 时， ．
设 ，其定义域为 ，则证明 即可．
，设 ，则 ，
故函数 在 上单调递增．
， ．
有唯一的实根 ，且 ， ．
当 时， ；当 时， ，
故函数 的最小值为 ．
．
．
【名师点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查导数证明不等式，解决本题的关
2
键点是构造 ，将命题 成立，转化为证明 ，
对函数求导判断出单调性和最值，可得命题成立，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属
于中档题．
2．已知函数 ．
（1）若函数 在定义域内为增函数，求实数 的取值范围；
（2）当 时，求证： ．
【试题来源】四川省绵阳市 2021 届高三第三次诊断
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得 在 恒成立，再分
和 两种情况讨论，即可得解；（2）易知 在 上单调递
增，再根据零点存在性定理可得存在 ，使得 ，即可得到 在
单调递减，在 单调递增，即可得证．
【解析】（1）由 ，得 ．
函数 在定义域内为增函数，
在 恒成立．
当 时， ，满足题意；当 时，设 ．
易得 ， 函数 在 上为增函数，
3
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