专题2.14 导数-恒成立问题（解析版）

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专题 2.14 导数-恒成立问题
1．恒成立问题的解法：
（1）若 在区间 D上有最值，
则 ； ；
（2）若能分离常数，即将问题转化为 （或 ），
则 ； .
2．已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系
中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
1．已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围．
【试题来源】2021 届普通高中教育教学质量监测考试全国 I卷
【答案】（1）答案见解析；（2） ．
【分析】（1）利用导数，讨论 、 时 的符号，进而确定 的区间单
调性；（2）由题设函数不等式恒成立，得 在 上恒成立
1
构造 ，求其导数 并判断单调性，进而确定零点 有
，保证 ，可将问题转化为
时求 的范围，进而确定 的值域，进而求 的范围．
【解析】（1） 的定义域是 ， ．
① 当 ，即 时， 在 上恒成立，则 在 上单调递增；
② 当 ，即 时，令 ，得 ；
令 ，得 ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）当 ，即 ，
则 在 上恒成立，
设 ，则 ，
易知 在 上单调递增，且当 时， ，
当 时， ，所以存在唯一零点，
令 ，则 ，
2
且 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
即有 ，
设 ，令 ， ，则 单调递增，
又 ，故 ，得 ，
所以增函数 ，其值域为 ，
即 的取值范围为 ，故 的取值范围是 ．
【名师点睛】（1）分类讨论的方法研究含参函数的单调性即可；
（2）将问题转化为不等式在区间内恒成立，构造函数并应用导数研究单调性找到零点 ，
仅需保证 ，结合参变分离，再次构造函数并确定 的范围，进而
求函数 的值域．
2．已知函数 (，e为自然对数的底数)．
（1）当 时，求函数 的零点：
（2）若对 ， 恒成立，求实数 a的取值范围．
【试题来源】安徽省合肥市 2021 届高三下学期第二次教学质量检测
【答案】（1）0；（2） ．
3
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